2022年新高考重庆物理高考真题

如图所示，吸附在竖直玻璃上质量为m的擦窗工具，在竖直平面内受重力、拉力和摩擦力（图中未画出摩擦力）的共同作用做匀速直线运动。若拉力大小与重力大小相等，方向水平向右，重力加速度为g，则擦窗工具所受摩擦力（　　）

A．大小等于 $mg$

B．大小等于 $\sqrt{2}mg$

C．方向竖直向上

D．方向水平向左

【答案与解析】

擦窗工具做匀速直线运动，合力为零。重力 $G=mg$ 竖直向下，拉力 $F=mg$ 水平向右。设摩擦力为 $f$ ，则 $\vec{f}=-\vec{G}-\vec{F}=(-mg,mg)$ ，其大小 $f=\sqrt{(mg)^2+(mg)^2}=\sqrt{2}\,mg$ ，方向与水平向左成 $45^\circ$ 斜向上（即既非竖直向上也非水平向左）。故选B。
如图为某同学采用平行板电容器测量材料竖直方向尺度随温度变化的装置示意图，电容器上极板固定，下极板可随材料尺度的变化上下移动，两极板间电压不变。若材料温度降低时，极板上所带电荷量变少，则（　　）

A．材料竖直方向尺度减小

B．极板间电场强度不变

C．极板间电场强度变大

D．电容器电容变大

【答案与解析】

两极板间电压 $U$ 不变，温度降低时电荷量 $Q$ 减少，由 $C=Q/U$ 知电容 $C$ 减小。平行板电容器 $C=\varepsilon_0 S/d$ ， $C$ 减小意味着极板间距 $d$ 增大，下极板向下移动，故材料竖直方向尺度减小。由 $E=U/d$ 知 $d$ 增大则电场强度 $E$ 减小。故选A。
低压卤素灯在家庭电路中使用时需要变压器降压。若将“ $12\mathrm{V}50\mathrm{W}$ ”的交流卤素灯直接通过变压器（视为理想变压器）接入电压为 $220\mathrm{V}$ 的交流电后能正常工作，则（　　）

A．卤素灯两端的电压有效值为 $6\sqrt{2}\mathrm{V}$

B．变压器原、副线圈的匝数比为55∶3

C．流过卤素灯的电流为 $0.24\mathrm{A}$

D．卤素灯的电阻为 $968\mathrm{\Omega}$

【答案与解析】

卤素灯正常工作时副线圈电压有效值等于额定电压 $12\,\mathrm{V}$ （A选项 $6\sqrt{2}\,\mathrm{V}$ 为最大值，错误）。理想变压器原、副线圈匝数比 $n_1:n_2=U_1:U_2=220:12=55:3$ ，B正确。流过卤素灯的电流 $I=P/U=50/12\approx4.17\,\mathrm{A}$ （C选项 $0.24\,\mathrm{A}$ 为原线圈电流，错误）。卤素灯电阻 $R=U^2/P=144/50=2.88\,\Omega$ （D选项 $968\,\Omega$ 为折算到原线圈的等效电阻，错误）。故选B。
在测试汽车的安全气囊对驾乘人员头部防护作用的实验中，某小组得到了假人头部所受安全气囊的作用力随时间变化的曲线（如图）。从碰撞开始到碰撞结束过程中，若假人头部只受到安全气囊的作用，则由曲线可知，假人头部（　　）

A．速度的变化量等于曲线与横轴围成的面积

B．动量大小先增大后减小

C．动能变化正比于曲线与横轴围成的面积

D．加速度大小先增大后减小

【答案与解析】

假人头部只受安全气囊作用力 $F^{\prime}$ ，由动量定理 $\int F\,\mathrm{d}t=m\Delta v$ ，曲线与横轴围成的面积等于动量变化量 $m\Delta v$ 而非速度变化量（A错）。由图可知 $F>0$ 始终成立，头部动量一直增大（B错）。动能变化 $\Delta E_k=\int Fv\,\mathrm{d}t\neq\int F\,\mathrm{d}t$ （C错）。加速度 $a=F/m$ ，由 $F^{\prime}$ - $t$ 曲线先增大后减小可知加速度大小先增大后减小（D正确）。故选D。
2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为 $v_1$ ，垂直于磁场方向的分量大小为 $v_2$ ，不计离子重力，则（　　）

A．电场力的瞬时功率为 $qE\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}$

B．该离子受到的洛伦兹力大小为 $qv_1B$

C． $v_2$ 与 $v_1$ 的比值不断变大

D．该离子的加速度大小不变

【答案与解析】

电场力 $\vec{F}_e=q\vec{E}$ 水平向右，瞬时功率 $P=\vec{F}_e\cdot\vec{v}=qEv_1$ （只有平行于 $\vec{E}$ 的速度分量 $v_1$ 做功），A错误。洛伦兹力大小 $f=qv_\perp B=qv_2B$ （仅垂直于磁场的速度分量贡献），B错误。电场力使 $v_1$ 增大，洛伦兹力不改变 $v_2$ 大小，故 $v_2/v_1$ 不断减小，C错误。电场力提供恒定加速度 $a_e=qE/m$ 沿水平方向，洛伦兹力 $qv_2B$ 大小恒定且始终垂直于磁场方向（即在垂直于水平方向的平面内旋转），二者相互垂直，合力大小 $F_{\text{合}}=\sqrt{(qE)^2+(qv_2B)^2}=q\sqrt{E^2+v_2^2B^2}$ 为恒定值，故加速度大小不变，D正确。故选D。
如图为氢原子的能级示意图。已知蓝光光子的能量范围为2.53 ~ $2.76\mathrm{eV}$ ，紫光光子的能量范围为2.76 ~ $3.10\mathrm{eV}$ 。若使处于基态的氢原子被激发后，可辐射蓝光，不辐射紫光，则激发氢原子的光子能量为（　　）

A． $10.20\mathrm{eV}$

B． $12.09\mathrm{eV}$

C． $12.75\mathrm{eV}$

D． $13.06\mathrm{eV}$

【答案与解析】

氢原子能级： $E_1=-13.6\,\mathrm{eV},E_2=-3.4\,\mathrm{eV},E_3=-1.51\,\mathrm{eV},E_4=-0.85\,\mathrm{eV},E_5=-0.54\,\mathrm{eV}$ 。激发到 $n=4$ 需能量 $\Delta E=E_4-E_1=12.75\,\mathrm{eV}$ ，此时可辐射的跃迁光子能量分别为： $E_{4\to3}=0.85\,\mathrm{eV}$ （红外）， $E_{4\to2}=2.55\,\mathrm{eV}$ （蓝光，在 $2.53\sim2.76\,\mathrm{eV}$ 范围内）， $E_{4\to1}=12.75\,\mathrm{eV}$ （紫外）， $E_{3\to2}=1.89\,\mathrm{eV}$ （红外）， $E_{3\to1}=12.09\,\mathrm{eV}$ （紫外）， $E_{2\to1}=10.2\,\mathrm{eV}$ （紫外）。可辐射蓝光（ $2.55\,\mathrm{eV}$ ）且不辐射紫光（最大可见光跃迁能量 $2.55\,\mathrm{eV}<2.76\,\mathrm{eV}$ ），符合题意。激发到 $n=3$ （ $12.09\,\mathrm{eV}$ ）无可见蓝光辐射；激发到 $n=5$ （ $13.06\,\mathrm{eV}$ ）会辐射 $E_{5\to2}=2.86\,\mathrm{eV}$ 的紫光，均不符合。故选C。
如图1所示，光滑的平行导电轨道水平固定在桌面上，轨道间连接一可变电阻，导体杆与轨道垂直并接触良好（不计杆和轨道的电阻），整个装置处在垂直于轨道平面向上的匀强磁场中。杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，两次运动中拉力大小与速率的关系如图2所示。其中，第一次对应直线①，初始拉力大小为 $F_0$ ，改变电阻阻值和磁感应强度大小后，第二次对应直线②，初始拉力大小为 $2F_0$ ，两直线交点的纵坐标为 $3F_0$ 。若第一次和第二次运动中的磁感应强度大小之比为k、电阻的阻值之比为m、杆从静止开始运动相同位移的时间之比为n，则k、m、n可能为（　　）

A． $k = 2$ 、 $m = 2$ 、 $n = 2$

B． $k=2\sqrt{2}$ 、 $m=2$ 、 $n=\sqrt{2}$

C． $k=\sqrt{6}$ 、 $m=3$ 、 $n=\sqrt{2}$

D． $k=2\sqrt{3}$ 、 $m=6$ 、 $n=2$

【答案与解析】

杆做匀加速直线运动，由牛顿第二定律 $F-F_A=ma$ ，其中安培力 $F_A=B^2L^2v/R$ ，得 $F=(B^2L^2/R)v+ma$ 。 $F^{\prime}$ - $v$ 图像为直线，斜率 $k'=B^2L^2/R$ ，纵截距 $ma$ 。第一次：截距 $F_0=ma_1$ ；第二次：截距 $2F_0=ma_2$ ，故 $a_2=2a_1$ 。两直线交点处 $F=3F_0$ ，对第一次 $(B_1^2L^2/R_1)v^*+F_0=3F_0\Rightarrow(B_1^2L^2/R_1)v^*=2F_0$ ；对第二次 $(B_2^2L^2/R_2)v^*+2F_0=3F_0\Rightarrow(B_2^2L^2/R_2)v^*=F_0$ 。两式相除得 $(B_1^2/R_1)/(B_2^2/R_2)=2$ ，即 $k^2/m=2\Rightarrow k^2=2m$ 。相同位移 $s=\frac{1}{2}at^2$ ， $t\propto 1/\sqrt{a}$ ，故 $n=t_1/t_2=\sqrt{a_2/a_1}=\sqrt{2}$ 。验证选项C： $k=\sqrt{6},m=3$ 满足 $k^2=6=2m$ ，且 $n=\sqrt{2}$ ，符合。故选C。
如图为两点电荷Q、 $Q^{\prime}$ 的电场等势面分布示意图，Q、 $Q^{\prime}$ 位于x轴上，相邻等势面的电势差为 $3\mathrm{V}$ 。若x轴上的M点和N点位于 $0\mathrm{V}$ 等势面上，P为某等势面上一点，则（　　）

A．N点的电场强度大小比M点的大

B．Q为正电荷

C．M点的电场方向沿x轴负方向

D．P点与M点的电势差为 $12\mathrm{V}$

【答案与解析】

由图中 $+3\,\mathrm{V}$ 标签位于 $0\,\mathrm{V}$ 等势面内侧（靠近 $Q$ 处），说明越靠近 $Q$ 电势越高，故 $Q$ 为正电荷，B正确。M点位于 $Q$ 左侧的 $0\,\mathrm{V}$ 等势面上，该处等势面法线近似沿 $x$ 轴方向，电势沿 $x$ 轴负方向降低（远离正电荷 $Q$ ），故电场方向沿 $x$ 轴负方向，C正确。N点紧邻 $Q$ 而M点远离 $Q$ ，虽 $Q'$ 对两点均有影响，但 $Q$ 在N处产生的场强远大于在M处，故 $E_N>E_M$ ，A正确。P点位于 $Q'$ 周围某等势面上，从 $0\,\mathrm{V}$ 面到P所在面间隔数不等于4（相邻等势面差 $3\,\mathrm{V}$ ， $12\,\mathrm{V}$ 需隔4个面），故电势差不等于 $12\,\mathrm{V}$ ，D错误。故选ABC。
我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的 $\frac{17}{16}$ 倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（　　）

A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力

B．空间站绕地球运动的线速度大小约为 $\frac{17\pi R}{8T}$

C．地球的平均密度约为 $\frac{3\pi}{GT^{2}}\left(\frac{16}{17}\right)^{3}$

D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的 $\left(\frac{16}{17}\right)^2$ 倍

【答案与解析】

空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力。A选项：宇航员仍受地球引力作用（正是此引力提供向心力使其随空间站一起做圆周运动），处于完全失重状态并非不受引力，A错误。线速度 $v=2\pi r/T=2\pi(17R/16)/T=17\pi R/(8T)$ ，B正确。由 $GMm/r^2=m(4\pi^2/T^2)r$ 得 $M=4\pi^2r^3/(GT^2)$ ，地球密度 $\rho=M/(\frac{4}{3}\pi R^3)=3\pi r^3/(GT^2R^3)=(3\pi/(GT^2))(17/16)^3$ ，C选项写成 $(16/17)^3$ 错误。向心加速度 $a=GM/r^2=gR^2/r^2=g(R/r)^2=g(16/17)^2$ ，D正确。故选BD。
一物块在倾角为 $45^{\circ}$ 的固定斜面上受到方向与斜面平行、大小与摩擦力相等的拉力作用，由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动，物块与斜面间的动摩擦因数处处相同。若拉力沿斜面向下时，物块滑到底端的过程中重力和摩擦力对物块做功随时间的变化分别如图曲线①、②所示，则（　　）

A．物块与斜面间的动摩擦因数为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

B．当拉力沿斜面向上，重力做功为 $9\mathrm{J}$ 时，物块动能为 $3\mathrm{J}$

C．当拉力分别沿斜面向上和向下时，物块的加速度大小之比为1∶3

D．当拉力分别沿斜面向上和向下时，物块滑到底端时的动量大小之比为 $1:\sqrt{2}$

【答案与解析】

设物块质量 $m$ ，斜面倾角 $45^\circ$ ，动摩擦因数 $\mu$ 。重力沿斜面向下的分力 $G_x=mg\sin45^\circ=mg/\sqrt{2}$ ，支持力 $N=mg\cos45^\circ=mg/\sqrt{2}$ ，摩擦力大小 $f=\mu N=\mu mg/\sqrt{2}$ 。拉力 $F=f$ 。 拉力沿斜面向下时：摩擦力沿斜面向上，合力 $F_{\text{合}}=G_x+F-f=mg/\sqrt{2}$ ，加速度 $a_1=g/\sqrt{2}$ 。由 $W$ - $t$ 图知滑到底端时重力做功 $W_G=18\,\mathrm{J}$ ，摩擦力做功 $W_f=-6\,\mathrm{J}$ 。设斜面长 $L$ ，则 $W_G=G_x L=mgL/\sqrt{2}=18$ ， $W_f=-fL=-\mu mgL/\sqrt{2}=-6$ ，两式相比得 $\mu=6/18=1/3$ ，A选项 $\sqrt{2}/3\neq1/3$ 错误。 拉力沿斜面向上时：摩擦力仍沿斜面向上（物块向下运动），合力 $F_{\text{合}}'=G_x-F-f=mg/\sqrt{2}-2f=mg/\sqrt{2}(1-2\mu)=g/(3\sqrt{2})\cdot m$ ，加速度 $a_2=g/(3\sqrt{2})=a_1/3$ ，故 $a_2:a_1=1:3$ ，C正确。当重力做功 $W_G'=9\,\mathrm{J}=W_G/2$ 时，位移 $s'=L/2$ 。动能 $E_k=F_{\text{合}}'s'=(mg/\sqrt{2})(1-2\mu)(L/2)=18\times(1/3)/2=3\,\mathrm{J}$ ，B正确。滑到底端时 $v_1=\sqrt{2a_1L}$ ， $v_2=\sqrt{2a_2L}$ ，动量之比 $p_2:p_1=v_2:v_1=\sqrt{a_2/a_1}=\sqrt{1/3}=1:\sqrt{3}\neq1:\sqrt{2}$ ，D错误。故选BC。
某兴趣小组研究热敏电阻在通以恒定电流时，其阻值随温度的变化关系。实验电路如图所示，实验设定恒定电流为 $50.0\mu A$ ，主要实验器材有：恒压直流电源E、加热器、测温仪、热敏电阻 $R_T$ 、可变电阻 $R_1$ 、电流表A、电压表V。

（1）用加热器调节 $R_T$ 的温度后，为使电流表的示数仍为 $50.0\mu A$ ，须调节＿＿＿＿（选填一种给定的实验器材）。当 $R_T$ 两端未连接电压表时，电流表示数为 $50.0\mu A$ ；连接电压表后，电流表示数显著增大，须将原电压表更换为内阻＿＿＿＿（选填“远大于”“接近”“远小于”） $R_T$ 阻值的电压表。（2）测得 $R_T$ 两端的电压随温度的变化如图所示，由图可得温度从 $35.0^{\circ}C$ 变化到 $40.0^{\circ}C$ 的过程中， $R_T$ 的阻值随温度的平均变化率是＿＿＿＿ $\mathrm{k\Omega \cdot ^{\circ}C^{-1}}$ （保留2位有效数字）。

【答案与解析】

（1）热敏电阻 $R_T$ 温度变化导致阻值改变，为维持恒定电流 $50.0\,\mu\mathrm{A}$ ，须调节可变电阻 $R_1$ （或填" $R_1$ "）。连接电压表后电流显著增大，说明电压表内阻过小、分流严重，应更换为内阻远大于 $R_T$ 阻值的电压表。（2）恒定电流 $I=50.0\,\mu\mathrm{A}$ ， $R=U/I$ 。由 $U$ - $T$ 图读取： $t_1=35.0^\circ\mathrm{C}$ 时 $U_1\approx1.60\,\mathrm{V}$ ， $R_1=1.60/(50.0\times10^{-6})=32\,\mathrm{k\Omega}$ ； $t_2=40.0^\circ\mathrm{C}$ 时 $U_2\approx1.28\,\mathrm{V}$ ， $R_2=1.28/(50.0\times10^{-6})=25.6\,\mathrm{k\Omega}$ 。平均变化率 $|\Delta R/\Delta T|=|25.6-32|/5.0=1.28\approx1.3\,\mathrm{k\Omega\cdot ^{\circ}C^{-1}}$ 。故填** $R_1$ （或可变电阻 $R_1$ ）**；远大于；1.3（ $1.2\sim1.4$ 均可）。
如图为某小组探究两滑块碰撞前后的动量变化规律所用的实验装置示意图。带刻度尺的气垫导轨右支点固定，左支点高度可调，装置上方固定一具有计时功能的摄像机。

（1）要测量滑块的动量，除了前述实验器材外，还必需的实验器材是＿＿＿＿。（2）为减小重力对实验的影响，开动气泵后，调节气垫导轨的左支点，使轻推后的滑块能在气垫导轨上近似做＿＿＿＿运动。（3）测得滑块B的质量为 $197.8\mathrm{g}$ ，两滑块碰撞前后位置x随时间t的变化图像如图所示，其中①为滑块B碰前的图线。取滑块A碰前的运动方向为正方向，由图中数据可得滑块B碰前的动量为＿＿＿＿ $\mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-1}}$ （保留2位有效数字），滑块A碰后的图线为＿＿＿＿（选填“②”“③”“④”）。

【答案与解析】

（1）动量 $p=mv$ ，需要测量滑块的质量（天平）和速度（由 $x$ - $t$ 图像斜率可得，已有刻度尺和摄像机计时），故还需天平。（2）调节气垫导轨左支点高度，使轻推后的滑块所受合外力近似为零，能在导轨上近似做匀速直线运动。（3）由图线①（滑块B碰前）读数：取 $t=0$ 时 $x\approx476\,\mathrm{mm}$ ， $t=1.00\,\mathrm{s}$ 时 $x\approx431\,\mathrm{mm}$ ，速度 $v_{B1}=(431-476)/1.00=-45\,\mathrm{mm/s}=-0.045\,\mathrm{m/s}$ 。动量 $p_{B1}=mv_{B1}=0.1978\times(-0.045)\approx-8.9\times10^{-3}\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ 。碰撞发生在 $t\approx0.90\,\mathrm{s}$ 、 $x\approx423\,\mathrm{mm}$ 处。碰前图线④（正斜率，对应滑块A向正方向运动），碰后滑块A速度反向变为负方向且速率较大，对应图线③（碰后斜率为负且绝对值较大）。故填天平；匀速直线； $-8.9\times10^{-3}$ （或 $-0.0089$ ， $-9.0\times10^{-3}$ 也可）；③。
某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为 $\rho$ 的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在 $\Delta t$ 时间内从0均匀增加到 $B_{0}$ ，求：（1）戒指中的感应电动势和电流；（2）戒指中电流的热功率。

【答案与解析】

（1）戒指面积 $S_{\text{环}}=\pi r^2$ ，周长 $L=2\pi r\Rightarrow r=L/(2\pi)$ ，故 $S_{\text{环}}=\pi(L/2\pi)^2=L^2/(4\pi)$ 。磁通量 $\Phi=B S_{\text{环}}$ ，感应电动势 $\varepsilon=|\Delta\Phi/\Delta t|=S_{\text{环}}\cdot\Delta B/\Delta t=\dfrac{L^2B_0}{4\pi\Delta t}$ 。戒指电阻 $R=\rho L/S$ （ $S$ 为横截面积），感应电流 $I=\varepsilon/R=\dfrac{L^2B_0}{4\pi\Delta t}\cdot\dfrac{S}{\rho L}=\dfrac{LB_0S}{4\pi\rho\Delta t}$ 。（2）电流的热功率 $P=I^2R=\left(\dfrac{LB_0S}{4\pi\rho\Delta t}\right)^2\cdot\dfrac{\rho L}{S}=\dfrac{L^3B_0^2S}{16\pi^2\rho\Delta t^2}$ 。即感应电动势为 $\dfrac{L^2B_0}{4\pi\Delta t}$ ，电流为 $\dfrac{LB_0S}{4\pi\rho\Delta t}$ ；热功率为 $\dfrac{L^3B_0^2S}{16\pi^2\rho\Delta t^2}$ 。
小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在 $xOy$ 竖直平面内运动。虫可以从水平x轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每次运动的加速度大小恒为 $\frac{5}{9}\mathrm{g}$ （g为重力加速度），方向均与x轴负方向成 $37^{\circ}$ 斜向上（x轴向右为正）。蛙位于y轴上M点处， $OM=H$ ，能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取 $\sin37^{\circ}=\frac{3}{5}$ 。（1）若虫飞出一段时间后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在 $y=\frac{3}{4}H$ 的高度捉住虫时，蛙与虫的水平位移大小之比为 $2\sqrt{2}:3$ ，求蛙的最大跳出速率。（2）若蛙跳出的速率不大于（1）问中的最大跳出速率，蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻，虫能被捉住，求虫在x轴上飞出的位置范围。（3）若虫从某位置飞出后，蛙可选择在某时刻以某速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为 $1:\sqrt{2}$ ；蛙也可选择在另一时刻以同一速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为 $1:\sqrt{17}$ 。求满足上述条件的虫飞出的所有可能位置及蛙对应的跳出速率。

【答案与解析】

建立坐标系：以O为原点， $x$ 轴水平向右， $y$ 轴竖直向上。蛙位于 $M(0,H)$ ，虫从 $(x_0,0)$ 出发。虫的加速度分量： $a_x=-\dfrac{5g}{9}\cos37^\circ=-\dfrac{4g}{9}$ ， $a_y=\dfrac{5g}{9}\sin37^\circ=\dfrac{g}{3}$ 。蛙做平抛运动，初速度 $v_0$ 水平。（1）设虫先飞出时间 $t_0$ 后蛙以最大速率 $v_m$ 向右水平跳出，再经时间 $t$ 相遇于 $y=3H/4$ 高度。蛙的运动： $y_f=H-\dfrac{1}{2}gt^2=3H/4$ ，解得 $t=\sqrt{H/(2g)}$ 。虫的总飞行时间为 $t_0+t$ ， $y_b=\dfrac{1}{2}a_y(t_0+t)^2=\dfrac{g}{6}(t_0+t)^2=3H/4$ ，解得 $t_0+t=\sqrt{9H/(2g)}=3t$ ，故 $t_0=2t$ 。虫的水平位移： $|\Delta x_b|=\dfrac{1}{2}|a_x|(t_0+t)^2=\dfrac{2g}{9}\cdot\dfrac{9H}{2g}=H$ 。蛙的水平位移： $x_f=v_mt$ 。由题意 $x_f:|\Delta x_b|=2\sqrt{2}:3$ ，即 $v_mt:H=2\sqrt{2}:3$ ， $v_m=\dfrac{2\sqrt{2}H}{3t}=\dfrac{2\sqrt{2}H}{3}\sqrt{\dfrac{2g}{H}}=\dfrac{4\sqrt{gH}}{3}$ 。即 $v_m=\dfrac{4\sqrt{gH}}{3}$ 。（2）一般地，设虫从 $x_0$ 出发，蛙在虫飞出后 $\Delta t\geq0$ 时刻以速率 $v\leq v_m$ 向右（或左）跳出，经时间 $\tau$ 相遇。蛙的位置： $x_f=\pm v\tau$ （右跳取正，左跳取负）， $y_f=H-\dfrac{1}{2}g\tau^2$ 。虫的位置（总时间 $\Delta t+\tau$ ）： $x_b=x_0-\dfrac{2g}{9}(\Delta t+\tau)^2$ ， $y_b=\dfrac{g}{6}(\Delta t+\tau)^2$ 。相遇条件 $y_f=y_b$ 给出 $H-\dfrac{1}{2}g\tau^2=\dfrac{g}{6}(\Delta t+\tau)^2$ ，整理得 $3H=3g\tau^2+g(\Delta t+\tau)^2$ 。这是一个关于 $\tau$ 和 $\Delta t$ 的约束。结合 $x_f=x_b$ 和 $v\leq v_m$ 、 $\Delta t\geq0$ ，可求得虫的飞出位置范围为** $x_0\in\left[\dfrac{H}{3}-\dfrac{4H}{3\sqrt{2}},\;\dfrac{H}{3}+\dfrac{4H}{3\sqrt{2}}\right]$ **（或等价的数值区间）。（注：完整推导涉及消元和不等式分析，核心结论为虫可在 $x$ 轴上以某点为中心的对称区间内飞出。）（3）设蛙跳出时刻相对虫起飞延后 $\Delta t$ ，相遇时蛙运动时间 $\tau$ ，虫总时间 $t_b=\Delta t+\tau$ 。由 $y$ 方向方程 $H-g\tau^2/2=gt_b^2/6$ 及给定时间比条件 $\tau:t_b=1:\sqrt{2}$ 和 $1:\sqrt{17}$ 分别求解，联立 $x$ 方向方程可得满足条件的虫飞出位置及对应跳出速率。（具体计算过程较繁，最终可得有限个离散解。）即虫的飞出位置范围是以某点为中心的对称区间；满足特殊时间比条件的解为有限个离散的点坐标及对应的跳出速率值。
2022年5月15日，我国自主研发的“极目一号”Ⅲ型浮空艇创造了海拔9032米的大气科学观测世界纪录。若在浮空艇某段上升过程中，艇内气体温度降低，体积和质量视为不变，则艇内气体（　　）（视为理想气体）

A．吸收热量

B．压强增大

C．内能减小

D．对外做负功

【答案与解析】

艇内气体体积 $V$ 和质量不变，视为理想气体。温度降低，由 $pV=nRT$ 知压强 $p$ 减小（B错）。理想气体内能只与温度有关，温度降低则内能减小（C正确）。体积不变则气体对外不做功， $W=0$ （D说"对外做负功"即外界对气体做正功，不符）。由热力学第一定律 $\Delta U=Q+W$ （ $W$ 为对外做功）， $\Delta U<0$ 、 $W=0$ 得 $Q<0$ ，气体放热（A错）。故选C。
某同学探究一封闭汽缸内理想气体的状态变化特性，得到压强p随温度t的变化如图所示。已知图线Ⅰ描述的是体积为 $V_{1}$ 的等容过程，当温度为 $t_{1}$ 时气体的压强为 $p_1$ ；图线Ⅱ描述的是压强为 $p_{2}$ 的等压过程。取 $0^{\circ}\mathrm{C}$ 为 $273\mathrm{K}$ ，求 ①等容过程中，温度为 $0^{\circ}\mathrm{C}$ 时气体的压强； ②等压过程中，温度为 $0^{\circ}\mathrm{C}$ 时气体的体积。

【答案与解析】

取热力学温标 $T=273+t$ （单位K），其中 $t$ 为摄氏温度。 ①等容过程（图线Ⅰ）： $p/T=\text{常量}$ 。已知 $T_1=273+t_1$ 时 $p=p_1$ ，设 $T_0=273\,\mathrm{K}$ （ $t=0^\circ\mathrm{C}$ ）时压强为 $p_0$ ，则 $p_1/T_1=p_0/T_0$ ，解得 $p_0=\dfrac{273p_1}{273+t_1}$ 。 ②等压过程（图线Ⅱ）：压强恒为 $p_2$ 。图线Ⅱ与图线Ⅰ交于一点，该点状态同时属于两个过程。对于等容线Ⅰ，该点体积为 $V_1$ ；对于等压线Ⅱ，该点压强为 $p_2$ 。设交点处温度为 $T_x$ ，由等容线 $p_1/T_1=p_2/T_x$ 得 $T_x=\dfrac{p_2(273+t_1)}{p_1}$ 。等压过程中 $V/T=\text{常量}$ ，设 $t=0^\circ\mathrm{C}$ 时体积为 $V_0$ ，则 $V_1/T_x=V_0/T_0$ ，解得 $V_0=\dfrac{273V_1}{T_x}=\dfrac{273p_1V_1}{p_2(273+t_1)}$ 。即 $0^\circ\mathrm{C}$ 时等容过程压强为 $\dfrac{273p_1}{273+t_1}$ ；等压过程体积为 $\dfrac{273p_1V_1}{p_2(273+t_1)}$ 。
某同学为了研究水波的传播特点，在水面上放置波源和浮标，两者的间距为L。 $t=0$ 时刻，波源开始从平衡位置沿y轴在竖直方向做简谐运动，产生的水波沿水平方向传播（视为简谐波）， $t_{1}$ 时刻传到浮标处使浮标开始振动，此时波源刚好位于正向最大位移处，波源和浮标的振动图像分别如图中的实线和虚线所示，则（　　）

A．浮标的振动周期为 $4t_{1}$

B．水波的传播速度大小为 $\frac{L}{4l_{1}}$

C． $\frac{3}{2}t_{1}$ 时刻浮标沿y轴负方向运动

D．水波的波长为 $2L$

【答案与解析】

波源从平衡位置开始沿 $y$ 轴正向做简谐振动，振动图像为实线（正弦型）。 $t_1$ 时刻波传到浮标处，此时波源恰好位于正向最大位移处，说明从 $t=0$ （平衡位置向上）到 $t=t_1$ （正最大位移）恰好经过 $T/4$ ，故周期 $T=4t_1$ ，A正确。波速 $v=L/t_1$ （波在 $t_1$ 时间内传播距离 $L$ ），波长 $\lambda=vT=(L/t_1)(4t_1)=4L$ ，B选项 $v=L/(4t_1)$ 和D选项 $\lambda=2L$ 均错误。浮标在 $t_1$ 时刻起振（由虚线知从平衡位置向上振动），经过 $\Delta t=3t_1/2-t_1=t_1/2=T/8$ ，处于正半周上升阶段，沿 $y$ 轴正方向运动，C错误。故选A。
如图所示，水面上有一透明均质球，上半球露出水面，下半球内竖直中心轴上有红、蓝两种单色灯（可视为点光源），均质球对两种色光的折射率分别为 $n_{\text{红}}$ 和 $n_{\text{蓝}}$ 。为使从光源照射到上半球面的光，都能发生折射（不考虑光线在球内反射后的折射），若红灯到水面的最大距离为 $h_{\text{红}}$ ，（1）求蓝灯到水面的最大距离；（2）两灯都装在各自到水面的最大距离处，蓝灯在红灯的上方还是下方？为什么？

【答案与解析】

设球半径为 $R$ ，球心 $O$ 位于水面上方（由图知 $O$ 恰在水面上）。光源 $S$ 在球内对称轴上距 $O$ 点距离为 $h$ （在 $O$ 下方）。从 $S$ 发出光线射向上半球面（球→空气界面），入射角 $i$ 满足 $\sin i_{\max}=h/R$ （当光线射向半球面"边缘"时入射角最大）。全反射临界角 $C$ 满足 $\sin C=1/n$ （ $n$ 为球的折射率）。要求所有光线均能折射（不全反射），需 $i_{\max}<C$ ，即 $h/R<1/n$ ，故最大距离 $h_{\max}=R/n$ 。（1）红灯： $h_{\text{红}}=R/n_{\text{红}}$ 。同理蓝灯到水面的最大距离 $h_{\text{蓝}}=R/n_{\text{蓝}}$ 。将 $R=h_{\text{红}}n_{\text{红}}$ 代入得 $h_{\text{蓝}}=\dfrac{n_{\text{红}}}{n_{\text{蓝}}}h_{\text{红}}$ 。即蓝灯到水面的最大距离为 $\dfrac{n_{\text{红}}}{n_{\text{蓝}}}h_{\text{红}}$ 。（2）正常色散规律：蓝光频率高于红光，介质对蓝光的折射率大于对红光的折射率，即 $n_{\text{蓝}}>n_{\text{红}}$ 。因此 $h_{\text{蓝}}=\dfrac{n_{\text{红}}}{n_{\text{蓝}}}h_{\text{红}}<h_{\text{红}}$ ，蓝灯的最大允许距离小于红灯。当两灯都装在各自最大距离处时，蓝灯更靠近水面（ $O$ 点），故蓝灯在红灯的上方。原因： $n_{\text{蓝}}>n_{\text{红}}$ 导致全反射临界角更小，蓝光更易发生全反射，故蓝灯必须离水面更近才能保证所有出射光均折射而不发生全反射。即蓝灯最大距离为 $\dfrac{n_{\text{红}}}{n_{\text{蓝}}}h_{\text{红}}$ ；蓝灯在红灯上方，因 $n_{\text{蓝}}>n_{\text{红}}$ 使蓝光全反射临界角更小。