2021年湖南省普通高中学业水平选择性考试（湖南卷）

核废料具有很强的放射性，需要妥善处理。下列说法正确的是（　　）

A．放射性元素经过两个完整的半衰期后，将完全衰变殆尽

B．原子核衰变时电荷数守恒，质量数不守恒

C．改变压力、温度或浓度，将改变放射性元素的半衰期

D．过量放射性辐射对人体组织有破坏作用，但辐射强度在安全剂量内则没有伤害

【答案与解析】

由半衰期定义，放射性元素经两个半衰期后剩余 $1/4$ ，不会衰变殆尽，A错。原子核衰变时电荷数与质量数均守恒，B错。半衰期由核自身结构决定，与压强、温度、浓度等外界条件无关，C错。过量辐射对人体组织有破坏作用，但在安全剂量内则无伤害，D对。故选D。
物体的运动状态可用位置 $x$ 和动量 $p$ 描述，称为相，对应 $p-x$ 图像中的一个点。物体运动状态的变化可用 $p-x$ 图像中的一条曲线来描述，称为相轨迹。假如一质点沿 $x$ 轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则对应的相轨迹可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案与解析】

质点沿 $x$ 轴正向做初速为零的匀加速直线运动， $v^2=2ax$ ，动量 $p=mv=m\sqrt{2a}\sqrt{x}$ ，故相轨迹为过原点、 $p$ 随 $x$ 增大而增大且上升斜率逐渐减小的曲线。故选D。
“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为 $m$ 的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为 $P$ ，若动车组所受的阻力与其速率成正比（ $F_{\text{阻}}=kv$ ， $k$ 为常量），动车组能达到的最大速度为 $v_{m}$ 。下列说法正确的是（　　）

A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变

B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动

C．若四节动力车厢输出的总功率为 $2.25P$ ，则动车组匀速行驶的速度为 $\frac{3}{4}v_{m}$

D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间 $t$ 达到最大速度 $v_{m}$ ，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为 $\frac{1}{2}mv_{m}^{2}-Pt$

【答案与解析】

四节动力车厢总额定功率 $4P$ ，最大速度时 $4P=kv_m^2$ 。A：匀加速启动时 $v=at$ ，由 $F-kv=ma$ 得 $F=kat+ma$ ，牵引力随 $t$ 增大，A错。B：功率恒定时 $F=4P/v$ 随 $v$ 增大而减小，不可能匀加速，B错。C：总功率 $2.25P$ 匀速时 $2.25P=kv^2$ ，联立 $4P=kv_m^2$ 得 $v=3v_m/4$ ，C对。D：由动能定理 $4Pt-W_f=\frac12mv_m^2$ ，克服阻力做功 $W_f=4Pt-\frac12mv_m^2$ ，D错。故选C。
如图，在 $(a,0)$ 位置放置电荷量为 $q$ 的正点电荷，在 $(0,a)$ 位置放置电荷量为 $q$ 的负点电荷，在距 $P(a,a)$ 为 $\sqrt{2}a$ 的某点处放置正点电荷Q，使得 $P$ 点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为（　　）

A． $(0,2a)$ ， $\sqrt{2}q$

B． $(0,2a)$ ， $2\sqrt{2}q$

C． $(2a,0)$ ， $\sqrt{2}q$

D． $(2a,0)$ ， $2\sqrt{2}q$

【答案与解析】

$(a,0)$ 处 $+q$ 在 $P(a,a)$ 的场强大小为 $kq/a^2$ 、方向沿 $+y$ ； $(0,a)$ 处 $-q$ 在 $P$ 的场强大小为 $kq/a^2$ 、方向沿 $-x$ 。二者合场强大小为 $\sqrt2\,kq/a^2$ 、方向指向左上方。要使 $P$ 点合场强为零， $+Q$ 应在 $P$ 左上方即 $(0,2a)$ ，且其在 $P$ 处场强大小等于 $\sqrt2\,kq/a^2$ 、方向向右下方。由 $kQ/(\sqrt2a)^2=\sqrt2\,kq/a^2$ 得 $Q=2\sqrt2\,q$ 。故选B。
质量为 $M$ 的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示， $A$ 为半圆的最低点， $B$ 为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为 $m$ 的小滑块。用推力 $F$ 推动小滑块由A点向 $B$ 点缓慢移动，力 $F$ 的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是（　　）

A．推力 $F$ 先增大后减小

B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大

C．墙面对凹槽的压力先增大后减小

D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大

【答案与解析】

对滑块受力分析，沿切线 $F=mg\sin\theta$ ，沿半径 $N=mg\cos\theta$ ；由 $\mathrm{A}$ 到 $\mathrm{B}$ 过程中 $\theta$ 从 $0^\circ$ 增至 $90^\circ$ ， $F^{\prime}$ 单调增大、 $N$ 单调减小，A、B错。对凹槽与滑块整体，墙对凹槽压力等于滑块对凹槽压力的水平分力 $N\sin\theta=mg\cos\theta\sin\theta=\frac12mg\sin2\theta$ ，在 $\theta=45^\circ$ 时最大，即先增大后减小，C对。地面对凹槽支持力 $N_{\text{地}}=Mg+mg\cos^2\theta$ 随 $\theta$ 增大单调减小，D错。故选C。
如图，理想变压器原、副线圈匝数比为 $n_1:n_2$ ，输入端 $C$ 、 $D$ 接入电压有效值恒定的交变电源，灯泡 $L_1$ 、 $L_2$ 的阻值始终与定值电阻 $R_{0}$ 的阻值相同。在滑动变阻器 $R$ 的滑片从 $a$ 端滑动到 $b$ 端的过程中，两个灯泡始终发光且工作在额定电压以内，下列说法正确的是（　　）

A． $L_1$ 先变暗后变亮， $L_2$ 一直变亮

B． $L_1$ 先变亮后变暗， $L_2$ 一直变亮

C． $L_1$ 先变暗后变亮， $L_2$ 先变亮后变暗

D． $L_1$ 先变亮后变暗， $L_2$ 先变亮后变暗

【答案与解析】

副线圈总负载电阻 $R_{\text{总}}=R_0+\frac{R_0R_x}{R_0+R_x}$ （ $R_x$ 为滑变接入阻值），当 $R_x=R_0$ 即滑片在中点时 $R_{\text{总}}$ 最大，故从 $a$ 滑到 $b$ 副线圈等效电阻先增大后减小，从而副线圈电流 $I_2$ 及原线圈电流均先减小后增大，L1两端电压先减小后增大，L1先变暗后变亮；副线圈输出电压先增大后减小，通过L2支路的电流随 $R_x$ 减小而单调增大，L2一直变亮。故选A。
2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的 $\frac{1}{16}$ 。下列说法正确的是（　　）

A．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的 $\left(\frac{16}{17}\right)^2$ 倍

B．核心舱在轨道上飞行的速度大于 $7.9\mathrm{km/s}$

C．核心舱在轨道上飞行的周期小于 $24\mathrm{h}$

D．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小

【答案与解析】

A：轨道上距地心 $r=R+R/16=17R/16$ ，由万有引力 $F\propto1/r^2$ 得 $F/F_0=(16/17)^2$ ，A对。B：圆轨道速度 $v=\sqrt{GM/r}<7.9\,\mathrm{km/s}$ ，B错。C：轨道高度约 $400\,\mathrm{km}$ ，周期约 $90\,\mathrm{min}<24\,\mathrm{h}$ ，C对。D：轨道半径由速度与能量决定，与空间站质量无关，D错。故选AC。
如图（a），质量分别为 $m_A$ 、 $m_B$ 的A、B两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力 $F$ 作用在A上，系统静止在光滑水平面上（B靠墙面），此时弹簧形变量为 $x$ 。撤去外力并开始计时，A、B两物体运动的 $a-t$ 图像如图（b）所示， $S_{1}$ 表示0到 $t_{1}$ 时间内 $A$ 的 $a-t$ 图线与坐标轴所围面积大小， $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 分别表示 $t_{1}$ 到 $t_{2}$ 时间内A、B的 $a-t$ 图线与坐标轴所围面积大小。A在 $t_{1}$ 时刻的速度为 $v_{0}$ 。下列说法正确的是（　　）

A．0到 $t_{1}$ 时间内，墙对B的冲量等于 $m_Av_0$

B． $m_A > m_B$

C．B运动后，弹簧的最大形变量等于 $x$

D． $S_1-S_2=S_3$

【答案与解析】

$0$ 到 $t_1$ 内B静止靠墙，A速度由 $0$ 增至 $v_0$ ，墙对B的冲量大小等于弹簧对A的冲量 $m_Av_0$ ，A对。由 $t_1$ 到 $t_2$ 系统动量守恒， $m_AS_2=m_BS_3$ ，因 $S_2<S_3$ 故 $m_A>m_B$ ，B对。全过程机械能守恒，弹簧初始形变量为 $x$ ，之后最大形变量仍为 $x$ ，C对。 $S_1-S_2=S_3$ 无动量或能量依据，D错。故选ABC。
如图，圆心为 $O$ 的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行， $ab$ 和 $cd$ 为该圆直径。将电荷量为 $q(q>0)$ 的粒子从 $a$ 点移动到 $b$ 点，电场力做功为 $2W(W>0)$ ；若将该粒子从 $c$ 点移动到 $d$ 点，电场力做功为 $W$ 。下列说法正确的是（　　）

A．该匀强电场的场强方向与 $ab$ 平行

B．将该粒子从 $d$ 点移动到 $b$ 点，电场力做功为 $0.5W$

C． $a$ 点电势低于 $c$ 点电势

D．若只受电场力，从 $d$ 点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动

【答案与解析】

由 $W=qU$ ， $U_{ab}=2W/q$ ， $U_{cd}=W/q$ ，知 $ab$ 间电势差是 $cd$ 间的 $2$ 倍；过 $c,d$ 作 $ab$ 的垂线均为等势线，故场强方向与 $ab$ 平行，A对。由 $a\to b$ 电场力做正功知 $\varphi_a>\varphi_b$ ，且 $\varphi_d-\varphi_b=W/(2q)$ 即从 $d\to b$ 电场力做功 $0.5\,\mathrm{W}$ ，B对。 $\varphi_a>\varphi_c$ （场强沿 $ab$ ），C错。若粒子沿电场线方向射入则做直线运动，D错。故选AB。
两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为 $L$ ，通过长为 $L$ 的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体。距离组合体下底边 $H$ 处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场。磁场区域上下边界水平，高度为 $L$ ，左右宽度足够大。把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度 $v_{0}$ 水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小 $B$ 使其匀速通过磁场，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）

A． $B$ 与 $v_{0}$ 无关，与 $\sqrt{H}$ 成反比

B．通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变

C．通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等

D．调节 $H$ 、 $v_{0}$ 和 $B$ ，只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变

【答案与解析】

组合体做平抛，进入磁场时竖直分速度 $v_y=\sqrt{2gH}$ ，竖直边切割磁感线产生感应电动势 $E=BLv_y$ ，电流 $I=BLv_y/R$ ，安培力 $F=BIL=B^2L^2v_y/R$ ；匀速时 $F=mg$ 得 $B^2\propto1/v_y\propto H^{-1/4}$ ，故 $\mathrm{B}$ 与 $\sqrt H$ 不成反比，A错。通过磁场过程中电流方向会改变，B错。匀速通过时组合体克服安培力做功的功率等于重力做功的功率，C对。匀速通过时减少的重力势能全部转化为焦耳热，只要仍匀速，热量由通过的竖直位移决定而保持不变，D对。故选CD。
某实验小组利用图（a）所示装置探究加速度与物体所受合外力的关系。主要实验步骤如下：

（1）用游标卡尺测量垫块厚度 $h$ ，示数如图（b）所示， $h=$ ＿＿＿＿ $\mathrm{cm}$ ；（2）接通气泵，将滑块轻放在气垫导轨上，调节导轨至水平；（3）在右支点下放一垫块，改变气垫导轨的倾斜角度；（4）在气垫导轨合适位置释放滑块，记录垫块个数 $n$ 和滑块对应的加速度 $a$ ；（5）在右支点下增加垫块个数（垫块完全相同），重复步骤（4），记录数据如下表：

$n$ 1 2 3 4 5 6
$(a/\mathrm{m\cdot s^{-2}})$ 0.087 0.180 0.260 0.425 0.519

根据表中数据在图（c）上描点，绘制图线＿＿＿＿。

如果表中缺少的第4组数据是正确的，其应该是＿＿＿＿ $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ （保留三位有效数字）。

【答案与解析】

(1)主尺读数为 $1.0\,\mathrm{cm}$ ，游标尺第 $2$ 条刻线与主尺对齐，游标精度 $0.1\,\mathrm{mm}$ ，故垫块厚度 $h=1.0\,\mathrm{cm}+0.02\,\mathrm{cm}=1.02\,\mathrm{cm}$ 。 (5)将 $n=1,2,3,5,6$ 对应的 $a$ 值在图(c)上描点，各点近似在过原点的直线上，连线即得图线（作图略）。由 $a$ 与 $n$ 成正比，当 $n=4$ 时对应加速度 $a=0.342\,\mathrm{m/s^2}$ （保留三位有效数字）。故填 $1.02$ ； $0.342$ 。
某实验小组需测定电池的电动势和内阻，器材有：一节待测电池、一个单刀双掷开关、一个定值电阻（阻值为 $R_{0}$ ）、一个电流表（内阻为 $R_{A}$ ）、一根均匀电阻丝（电阻丝总阻值大于 $R_{0}$ ，并配有可在电阻丝上移动的金属夹）、导线若干。由于缺少刻度尺，无法测量电阻丝长度，但发现桌上有一个圆形时钟表盘。某同学提出将电阻丝绕在该表盘上，利用圆心角来表示接入电路的电阻丝长度。主要实验步骤如下：（1）将器材如图（a）连接：

（2）开关闭合前，金属夹应夹在电阻丝的＿＿＿＿端（填“a”或“b”）；（3）改变金属夹的位置，闭合开关，记录每次接入电路的电阻丝对应的圆心角 $\theta$ 和电流表示数 $I$ ，得到多组数据；（4）整理数据并在坐标纸上描点绘图，所得图像如图（b）所示，图线斜率为 $k$ ，与纵轴截距为 $d$ ，设单位角度对应电阻丝的阻值为 $r_{0}$ ，该电池电动势和内阻可表示为 $E=$ ＿＿＿＿， $r=$ ＿＿＿＿（用 $R_{0}$ 、 $R_{A}$ 、 $k$ 、 $d$ 、 $r_{0}$ 表示）（5）为进一步确定结果，还需要测量单位角度对应电阻丝的阻值 $r_{0}$ 。利用现有器材设计实验，在图（c）方框中画出实验电路图＿＿＿＿（电阻丝用滑动变阻器符号表示）；（6）利用测出的 $r_{0}$ ，可得该电池的电动势和内阻。

【答案与解析】

(2)开关闭合前应使接入电阻最大以保护电表，故金属夹夹在 $b$ 端。 (4)设接入电阻丝对应圆心角为 $\theta$ ，阻值 $R_\theta=\theta r_0$ 。由闭合电路欧姆定律 $E=I(R_A+R_0+r+\theta r_0)$ ，化为 $\frac1I=\frac{r_0}{E}\theta+\frac{R_A+R_0+r}{E}$ 。图线斜率 $k=r_0/E$ ，纵截距 $d=(R_A+R_0+r)/E$ ，联立得 $E=\frac{r_0}{k}$ ， $r=\frac{dr_0}{k}-R_0-R_A$ 。 (5)用伏安法测整根电阻丝总电阻 $R$ ，则单位角度对应阻值 $r_0=R/\theta_0$ （ $\theta_0$ 为绕在表盘上的总圆心角）。作图略。
带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个粒子的质量为 $m$ 、电荷量为 $+q$ ）以初速度 $v$ 垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在 $xOy$ 平面内的粒子，求解以下问题。（1）如图（a），宽度为 $2r_{1}$ 的带电粒子流沿 $x$ 轴正方向射入圆心为 $A(0,r_{1})$ 、半径为 $r_{1}$ 的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点 $O$ ，求该磁场磁感应强度 $B_{1}$ 的大小；（2）如图（a），虚线框为边长等于 $2r_{2}$ 的正方形，其几何中心位于 $C(0,-r_{2})$ 。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到 $O$ 点的带电粒子流经过该区域后宽度变为 $2r_{2}$ ，并沿 $x$ 轴正方向射出。求该磁场磁感应强度 $B_{2}$ 的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于 $r_{3}$ 的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于 $r_{4}$ 的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为 $2r_{3}$ 的带电粒子流沿 $x$ 轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点 $O$ ，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为 $2r_{4}$ ，并沿 $x$ 轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。

【答案与解析】

(1)粒子经圆形磁场聚焦于 $O$ ，磁聚焦条件为轨道半径 $R_1=r_1$ 。由 $qvB_1=mv^2/R_1$ 得 $B_1=\frac{mv}{qr_1}$ 。 (2)由 $O$ 发散成宽度 $2r_2$ 的平行束，为聚焦的逆过程，最小磁场区域取半径 $r_2$ 的圆形（面积最小），轨道半径 $R_2=r_2$ ， $B_2=\frac{mv}{qr_2}$ ；由左手定则磁场方向垂直纸面向里；该圆面积 $S_2=\pi r_2^2$ 。 (3)Ⅰ、Ⅲ为聚焦/发散磁透镜，轨道半径分别等于 $r_3$ 、 $r_4$ ，故 $B_{\mathrm I}=\frac{mv}{qr_3}$ ， $B_{\mathrm{III}}=\frac{mv}{qr_4}$ 。Ⅱ、Ⅳ中最小磁场区域为“叶形”，其面积为四分之一圆与直角三角形面积差的两倍，即 $S=(\frac{\pi r^2}{4}-\frac{r^2}{2})\times2=(\frac{\pi}{2}-1)r^2$ ，故 $S_{\mathrm{II}}=(\frac{\pi}{2}-1)r_3^2$ ， $S_{\mathrm{IV}}=(\frac{\pi}{2}-1)r_4^2$ 。
如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为 $L$ 的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道 $PQ$ 。质量为 $m$ 的小物块A与水平轨道间的动摩擦因数为 $\mu$ 。以水平轨道末端 $O$ 点为坐标原点建立平面直角坐标系 $xOy$ ， $x$ 轴的正方向水平向右， $y$ 轴的正方向竖直向下，弧形轨道 $P$ 端坐标为 $(2\mu L,\mu L)$ ， $Q$ 端在 $y$ 轴上。重力加速度为 $g$ 。（1）若A从倾斜轨道上距 $x$ 轴高度为 $2\mu L$ 的位置由静止开始下滑，求 $A$ 经过 $O$ 点时的速度大小；（2）若A从倾斜轨道上不同位置由静止开始下滑，经过 $O$ 点落在弧形轨道 $PQ$ 上的动能均相同，求 $PQ$ 的曲线方程；（3）将质量为 $\lambda m$ （ $\lambda$ 为常数且 $\lambda\geq5$ ）的小物块 $B$ 置于 $O$ 点，A沿倾斜轨道由静止开始下滑，与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短），要使A和B均能落在弧形轨道上，且A落在B落点的右侧，求A下滑的初始位置距 $x$ 轴高度的取值范围。

【答案与解析】

(1)A从高度 $2\mu L$ 滑下，在长 $L$ 的水平轨道上克服摩擦做功 $\mu mgL$ ，由动能定理 $mg\cdot2\mu L-\mu mgL=\frac12mv^2$ ，得 $v=\sqrt{2\mu gL}$ 。 (2)设初始高度为 $H$ ，到 $O$ 点速度 $v_0$ 满足 $\frac12mv_0^2=mgH-\mu mgL$ ，即 $v_0^2=2g(H-\mu L)$ 。平抛： $x=v_0t$ ， $y=\frac12gt^2$ ，消去 $t$ 得 $y=\frac{gx^2}{2v_0^2}=\frac{x^2}{4(H-\mu L)}$ 。落点动能 $E_k=\frac12mv_0^2+mgy=mg(H-\mu L)+mgy$ 与 $H$ 无关，故 $H-\mu L$ 为定值；代入 $P(2\mu L,\mu L)$ 得该定值为 $2\mu L$ ，于是 $x^2=4y(2\mu L-y)$ ，即 $x=2\sqrt{2\mu L\,y-y^2}$ ，其中 $\mu L\le y\le2\mu L$ 。 (3)设初始高度 $H$ 。碰前A在 $O$ 的速度 $v_A$ 满足 $v_A^2=2g(H-\mu L)$ 。弹性碰撞后A向左反弹速度 $u_A'=\frac{\lambda-1}{\lambda+1}v_A$ ，需往返水平轨道（两次摩擦各损 $\mu mgL$ ）再回到 $O$ 向右，故向右速度平方 $u_A^2=u_A'^2-4\mu gL$ ；B向右速度 $u_B=\frac{2}{\lambda+1}v_A$ 。落点均在 $PQ$ 上要求 $u^2\le2\mu gL$ ；A落在B右侧要求 $u_A>u_B$ 。由 $u_A^2>u_B^2$ 得 $(\lambda-3)v_A^2>4\mu gL\frac{\lambda+1}{\lambda-3}$ 即 $H>\frac{3\lambda-1}{\lambda-3}\mu L$ ；由A仍能落在 $PQ$ 得 $u_A^2\le2\mu gL$ 即 $H\le\frac{4(\lambda^2+\lambda+1)}{(\lambda-1)^2}\mu L$ 。故 $\frac{3\lambda-1}{\lambda-3}\mu L<H\le\frac{4(\lambda^2+\lambda+1)}{(\lambda-1)^2}\mu L$ 。
如图，两端开口、下端连通的导热汽缸，用两个轻质绝热活塞（截面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ）封闭一定质量的理想气体，活塞与汽缸壁间无摩擦。在左端活塞上缓慢加细沙，活塞从 $A$ 下降 $h$ 高度到 $B$ 位置时，活塞上细沙的总质量为 $m$ 。在此过程中，用外力 $F$ 作用在右端活塞上，使活塞位置始终不变。整个过程环境温度和大气压强 $p_{0}$ 保持不变，系统始终处于平衡状态，重力加速度为 $g$ 。下列说法正确的是（　　）

A．整个过程，外力 $F$ 做功大于0，小于 $mgh$

B．整个过程，理想气体的分子平均动能保持不变

C．整个过程，理想气体的内能增大

D．整个过程，理想气体向外界释放的热量小于 $(p_{0}S_{1}h+mgh)$

E．左端活塞到达 $B$ 位置时，外力 $F$ 等于 $\frac{mgS_{2}}{S_{1}}$

【答案与解析】

气体始终与导热汽缸、恒温环境接触，过程缓慢，为等温变化，分子平均动能不变，B对；理想气体内能只与温度有关，内能不变，C错。右活塞位置始终不变，外力 $F^{\prime}$ 作用点无位移，故 $F^{\prime}$ 做功为 $0$ ，A错。左活塞下降 $h$ ，气体体积减小 $S_1h$ ，外界对气体做功积分得 $p_0S_1h+\frac12mgh$ ，等温过程 $\Delta U=0$ ，放热 $Q=W=p_0S_1h+\frac12mgh<(p_0S_1h+mgh)$ ，D对。末态左活塞受力平衡 $p_{\text{气}}S_1=p_0S_1+mg$ ，右活塞 $F=(p_{\text{气}}-p_0)S_2=\frac{mg}{S_1}S_2=\frac{mgS_2}{S_1}$ ，E对。故选BDE。
小赞同学设计了一个用电子天平测量环境温度的实验装置，如图所示。导热汽缸开口向上并固定在桌面上，用质量 $m_{1}=600\mathrm{g}$ 、截面积 $S=20\mathrm{cm^{2}}$ 的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞与汽缸壁间无摩擦。一轻质直杆中心置于固定支点 $A$ 上，左端用不可伸长的细绳竖直悬挂活塞，右端用相同细绳竖直悬挂一个质量 $m_{2}=1200\mathrm{g}$ 的铁块，并将铁块放置到电子天平上。当电子天平示数为 $600.0\mathrm{g}$ 时，测得环境温度 $T_{1}=300\mathrm{K}$ 。设外界大气压强 $p_{0}=1.0\times10^{5}\mathrm{Pa}$ ，重力加速度 $g=10\mathrm{m/s^2}$ 。（1）当电子天平示数为 $400.0\mathrm{g}$ 时，环境温度 $T_{2}$ 为多少？（2）该装置可测量的最高环境温度 $T_{max}$ 为多少？

【答案与解析】

设天平读数为 $N$ ，恒容变化。对活塞与杆受力分析： $N=(m_2-m_1)g+(p_{\text{气}}-p_0)S$ 。 $T_1=300\,\mathrm{K}$ 时 $N_1=600\,\mathrm{g}\times10=6\,\mathrm{N}$ ，代入得 $p_{\text{气}1}=p_0=1.0\times10^5\,\mathrm{Pa}$ 。 (1)示数 $400.0\,\mathrm{g}$ 即 $N_2=4\,\mathrm{N}$ ，得 $p_{\text{气}2}=p_0+\frac{N_2-N_1}{S}=1.0\times10^5+\frac{4-6}{2\times10^{-3}}=9.9\times10^4\,\mathrm{Pa}$ 。恒容 $\frac{p_{\text{气}}}{T}=\text{常量}$ ，故 $T_2=300\times\frac{9.9\times10^4}{1.0\times10^5}=297\,\mathrm{K}$ 。 (2)最高温度对应铁块恰将离开天平，此时 $N_{\max}=m_2g=12\,\mathrm{N}$ ，得 $p_{\text{气,max}}=1.0\times10^5+\frac{12-6}{2\times10^{-3}}=1.03\times10^5\,\mathrm{Pa}$ ， $T_{\max}=300\times\frac{1.03\times10^5}{1.0\times10^5}=309\,\mathrm{K}$ 。故 $T_2=297\,\mathrm{K}$ ， $T_{\max}=309\,\mathrm{K}$ 。
均匀介质中，波源位于O点的简谐横波在xOy水平面内传播，波面为圆。 $t = 0$ 时刻，波面分布如图（a）所示，其中实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷。A处质点的振动图像如图（b）所示，z轴正方向竖直向上。下列说法正确的是（　　）

A．该波从A点传播到B点，所需时间为 $4\mathrm{s}$

B． $t=6\mathrm{s}$ 时， $B$ 处质点位于波峰

C． $t=8\mathrm{s}$ 时， $C$ 处质点振动速度方向竖直向上

D． $t=10\mathrm{s}$ 时， $D$ 处质点所受回复力方向竖直向上

E． $E$ 处质点起振后， $12\mathrm{s}$ 内经过的路程为 $12\mathrm{cm}$

【答案与解析】

由图(a)(b)得波长 $\lambda=10\,\mathrm{m}$ 、周期 $T=4\,\mathrm{s}$ ，波速 $v=\lambda/T=2.5\,\mathrm{m/s}$ 。A： $\mathrm{A}$ 到 $\mathrm{B}$ 距离为 $10\,\mathrm{m}$ ，传播时间 $t=10/2.5=4\,\mathrm{s}$ ，A对。B：波传到 $\mathrm{B}$ 需 $4\,\mathrm{s}$ ， $t=6\,\mathrm{s}$ 时 $\mathrm{B}$ 已振动 $2\,\mathrm{s}=T/2$ ，位于波谷，B错。C：波从波面传到 $C$ 约需 $3.1\,\mathrm{s}$ 余， $t=8\,\mathrm{s}$ 时 $C$ 向上运动，C对。D： $t=10\,\mathrm{s}$ 时 $\mathrm{D}$ 处质点位于 $z$ 轴上方，回复力向下，D错。E： $12\,\mathrm{s}=3T$ ，振幅 $1\,\mathrm{cm}$ ，路程 $3\times4\,\mathrm{cm}=12\,\mathrm{cm}$ ，E对。故选ACE。
我国古代著作《墨经》中记载了小孔成倒像的实验，认识到光沿直线传播。身高 $1.6\mathrm{m}$ 的人站在水平地面上，其正前方 $0.6\mathrm{m}$ 处的竖直木板墙上有一个圆柱形孔洞，直径为 $1.0\mathrm{cm}$ 、深度为 $1.4\mathrm{cm}$ ，孔洞距水平地面的高度是人身高的一半。此时，由于孔洞深度过大，使得成像不完整，如图所示。现在孔洞中填充厚度等于洞深的某种均匀透明介质，不考虑光在透明介质中的反射。（i）若该人通过小孔能成完整的像，透明介质的折射率最小为多少？（ii）若让掠射进入孔洞的光能成功出射，透明介质的折射率最小为多少？

【答案与解析】

(i)孔心在身高一半处，孔上半缘对人眼所张：物点（头顶）在孔心上方 $0.8\,\mathrm{m}$ ，物距 $0.6\,\mathrm{m}$ ，故 $\tan\theta=0.8/0.6=4/3$ ， $\sin\theta=0.8$ 。光线在孔内介质中偏折使全孔径可用，几何上孔半径 $a=0.5\,\mathrm{cm}$ 、孔深 $d=1.4\,\mathrm{cm}$ ，极限光线从一端边缘到另一端边缘满足 $\tan\theta'=\frac{2a}{d}=\frac{1.0}{1.4}=5/7$ ， $\sin\theta'=\frac{5}{\sqrt{5^2+7^2}}=\frac{5}{\sqrt{74}}\approx0.582$ 。由折射定律（空气入射） $\sin\theta=n\sin\theta'$ ，得 $n_{\min}=\frac{0.8}{0.582}\approx1.38$ 。 (ii)掠射进入孔洞的光线在介质内与轴夹角最大，恰从另一端边缘出射时几何角仍为 $\theta'$ （ $\sin\theta'\approx0.582$ ）；要能折射出射而非全反射，在出射面需满足临界条件 $\sin C=1/n=\sin\theta'$ ，故 $n_{\min}=1/\sin\theta'\approx1/0.582\approx1.7$ 。故(i) $n_{\min}\approx1.38$ ；(ii) $n_{\min}\approx1.7$ 。