2021年河北省普通高中学业水平选择性考试（河北卷）

银河系中存在大量的铝同位素 $^{26}\mathrm{Al}$ ， $^{26}\mathrm{Al}$ 核 $\beta^{+}$ 衰变的衰变方程为 ${}^{26}_{13}\mathrm{Al}\to{}^{26}_{12}\mathrm{Mg}+{}^{0}_{1}\mathrm{e}$ ，测得 $^{26}\mathrm{Al}$ 核的半衰期为72万年，下列说法正确的是（　　）

A． $^{26}\mathrm{Al}$ 核的质量等于 $_{26}\mathrm{Mg}$ 核的质量

B． $^{26}\mathrm{Al}$ 核的中子数大于 $_{26}\mathrm{Mg}$ 核的中子数

C．将铝同位素 $_{26}Al$ 放置在低温低压的环境中，其半衰期不变

D．银河系中现有的铝同位素 $_{26}\mathrm{Al}$ 将在144万年后全部衰变为 $_{26}\mathrm{Mg}$

【答案与解析】

$^{26}_{13}\mathrm{Al}$ 中子数 $=13$ ， $^{26}_{12}\mathrm{Mg}$ 中子数 $=14$ ，故 B 错； $\beta^+$ 衰变有质量亏损，且反应释放出正电子，A 错；半衰期由核内部决定，与温度压强无关，C 对；半衰期 72 万年，144 万年后剩余 $1/4$ ，未全部衰变，D 错。故选C。
铯原子钟是精确的计时仪器，图1中铯原子从O点以 $100\mathrm{m/s}$ 的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面 $MN$ 所用时间为 $t_{1}$ ；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为 $t_{2}$ ，O点到竖直平面 $MN$ 、P点到Q点的距离均为 $0.2\mathrm{m}$ ，重力加速度取 $g=10\mathrm{m/s^2}$ ，则 $t_{1}:t_{2}$ 为（　　）

A．100∶1

B．1∶100

C．1∶200

D．200∶1

【答案与解析】

图1平抛，O 到竖直平面 MN 的水平距离为 0.2m，初速 $v_0=100\,\mathrm{m/s}$ ，故 $t1=0.2/100=2\times10^{-3}\,\mathrm{s}$ 。图2竖直上抛，P 到 Q 距离 0.2m， $t_{\text{上}}=\sqrt{2h/g}=\sqrt{0.04}=0.2\,\mathrm{s}$ ， $t2=2t_{\text{上}}=0.4\,\mathrm{s}$ 。故 $t1:t2=2\times10^{-3}:0.4=1:200$ 。故选C。
普朗克常量 $h=6.626\times10^{-34}\mathrm{J}\cdot\mathrm{s}$ ，光速为c，电子质量为 $m_e$ ，则 $\frac{h}{m_{e}c}$ 在国际单位制下的单位是（　　）

A． $\mathrm{J/s}$

B．m

C． $\mathrm{J \cdot m}$

D． $\mathrm{m}/\mathrm{s}$

【答案与解析】

$[\mathrm{J}]=[\mathrm{kg\cdot m^2/s^2}]$ ，故 $h/(m_e c)=\dfrac{\mathrm{J\cdot s}}{\mathrm{kg\cdot m/s}}=\dfrac{\mathrm{kg\cdot m^2/s^2}\cdot\mathrm{s}}{\mathrm{kg\cdot m/s}}=\mathrm{m}$ ，单位为 m。故选B。
“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球静止卫星的轨道半径的比值约为（　　）

A． $\sqrt[3]{4}$

B． $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

C． $\sqrt[3]{\frac{5}{2}}$

D． $\sqrt[3]{\frac{2}{5}}$

【答案与解析】

由 $T=2\sqrt{\pi r^3/(GM)}$ 得 $r=\sqrt[3]{GMT^2/(4\pi^2)}$ 。飞船与"天问一号"周期相同（2 火星日），与地球静止卫星（1 地球日）的周期比为 2:1，质量比 $M 1/M_{\text{地}}=0.1$ ，故 $\frac{r_{\text{飞}}}{r_{\text{地静}}}=\sqrt[3]{\frac{M_1}{M_{\text{地}}}\cdot\left(\frac{T_{\text{飞}}}{T_{\text{地}}}\right)^2}=\sqrt[3]{0.1\times 4}=\sqrt[3]{\frac{2}{5}}.$ 故选D。
如图，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为 $B_{1}$ ，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间，相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为 $B_{2}$ ，导轨平面与水平面夹角为 $\theta$ ，两导轨分别与P、Q相连，质量为m、电阻为R的金属棒 $ab$ 垂直导轨放置，恰好静止，重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力，下列说法正确的是（　　）

A．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上， $v=\frac{mgR\sin\theta}{B_{1}B_{2}Ld}$

B．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下， $v=\frac{mgR\sin\theta}{B_{1}B_{2}Ld}$

C．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上， $v=\frac{mgR\tan\theta}{B_{1}B_{2}Ld}$

D．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下， $v=\frac{mgR\tan\theta}{B_{1}B_{2}Ld}$

【答案与解析】

等离子体（含正电荷）垂直喷入磁场产生电动势 $E=B_1vd$ ，不计其他电阻，金属棒中电流 $I=E/R=B_1vd/R$ 。棒所受安培力 $F=B_2IL=B_2B_1vdL/R$ ，方向沿斜面向上以平衡 $mg\sin\theta$ ，故 $B_1B_2vdL/R=mg\sin\theta$ ，即 $V=\frac{mgR\sin\theta}{B_1B_2Ld},$ 且由图可知导轨处磁场方向垂直导轨平面向上。故选A。
一半径为R的圆柱体，保持其轴线水平，横截面如图所示，长度为 $\pi R$ 、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直，将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为（重力加速度为g，不计空气阻力）（　　）

A． $\sqrt{(2+\pi)gR}$

B． $\sqrt{2\pi\mathrm{gR}}$

C． $\sqrt{2(1+\pi)\mathrm{gR}}$

D． $2\sqrt{gR}$

【答案与解析】

绳与圆柱体未接触部分竖直时，该段绳方向竖直，必在接触点切线方向，即接触点位于圆柱最右端（半径水平），绳缠绕四分之一圆。自由段长 $\pi R-R\cdot\pi/2=R\pi/2$ 。取过 P 的水平面为零势面，小球初始高度 $R$ ，末态高度 $-R\pi/2$ ，由机械能守恒： $mg\!\left(R+\frac{\pi R}{2}\right)=\frac{1}{2}mv^2,$ $v=\sqrt{(2+\pi)gR}.$ 故选A。
如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为 $\theta$ ，一电容为C的电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻，下列说法正确的是（　　）

A．通过金属棒的电流为 $2BCv^{2}\tan\theta$

B．金属棒到达 $x_{0}$ 时，电容器极板上的电荷量为 $BCvx_0\tan\theta$

C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电

D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定

【答案与解析】

棒到达 $x$ 处时棒长 $2x\tan\theta$ ，电动势 $E=2Bvx\tan\theta$ 。通过棒的电流 $I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(CE)}{\mathrm{d}t}=2BCv\tan\theta\cdot v=2BCv^2\tan\theta,$ A 对；电容器极板上电荷量 $Q=CE=2BCvx_0\tan\theta$ ，B 少一个 2，错；由 $v\times B$ 方向知棒上端电势高，上极板带正电，C 错；安培力 $F=BIL=4B^2Cv^2x\tan^2\theta$ 随 $x$ 增大，外力功率 $P=Fv$ 不恒定，D 错。故选A。
如图，发电机的矩形线圈长为 $2L$ 、宽为L，匝数为N，放置在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，理想变压器的原、副线圈匝数分别为 $n_{0}$ 、 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ ，两个副线圈分别接有电阻 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ ，当发电机线圈以角速度 $\omega$ 匀速转动时，理想电流表读数为I，不计线圈电阻，下列说法正确的是（　　）

A．通过电阻 $R_{2}$ 的电流为 $\frac{n_{1}I}{n_{2}}$

B．电阻 $R_{2}$ 两端的电压为 $\frac{n_{2}IR_{1}}{n_{1}}$

C． $n_{0}$ 与 $n_{1}$ 的比值为 $\frac{\sqrt{2}NBL^{2}\omega}{IR_{1}}$

D．发电机的功率为 $\frac{\sqrt{2}NBL^{2}\omega I(n_{1}+n_{2})}{n_{0}}$

【答案与解析】

电流表测 $R_1$ 所在支路电流 $I$ ，则 $U_1=IR_1$ ， $U_2=\dfrac{n_2}{n_1}U_1=\dfrac{n_2IR_1}{n_1}$ ，B 对； $U_0=\dfrac{n_0}{n_1}U_1$ ，又 $U_0=\sqrt{2}NBL^2\omega$ ，故 $\dfrac{n_0}{n_1}=\dfrac{\sqrt{2}NBL^2\omega}{IR_1}$ ，C 对； A、D 项与变压器规律不符，错。故选BC。
如图，矩形金属框 $MNQP$ 竖直放置，其中 $MN$ 、 $PQ$ 足够长，且 $PQ$ 杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过 $PQ$ 杆，金属框绕 $MN$ 轴分别以角速度 $\omega$ 和 $\omega^{\prime}$ 匀速转动时，小球均相对 $PQ$ 杆静止，若 $\omega^{\prime}>\omega$ ，则与以 $\omega$ 匀速转动时相比，以 $\omega^{\prime}$ 匀速转动时（　　）

A．小球的高度一定降低

B．弹簧弹力的大小一定不变

C．小球对杆压力的大小一定变大

D．小球所受合外力的大小一定变大

【答案与解析】

弹簧水平分量 $k\cdot\dfrac{a}{\sqrt{a^2+h^2}}\cdot\sqrt{a^2+h^2}=ka$ （恒定）。竖直方向 $kh=mg$ ， $h=mg/k$ 与 $\omega$ 无关，故弹簧弹力大小不变，B 对；小球高度不变，A 错；小球对杆压力 $|N|=a|m\omega^2-k|$ 不一定随 $\omega'$ 增大，C 错；合外力提供向心力 $m\omega^2a$ ， $\omega'>\omega$ 一定变大，D 对。故选BD。
如图，四个电荷量均为 $q(q>0)$ 的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为 $(4l,0)$ 、 $(-4l,0)$ 、 $(0,y_{0})$ 和 $(0,-y_{0})$ ，其中x轴上的两个点电荷位置固定，y轴上的两个点电荷可沿y轴对称移动（ $y_{0}\neq0$ ），下列说法正确的是（　　）

A．除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零

B．当 $y_{0}$ 取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点

C．当 $y_{0}=8l$ 时，将一带负电的试探电荷由点 $(4l,5l)$ 移至点 $(0,-3l)$ ，静电力做正功

D．当 $y_{0}=4l$ 时，将一带负电的试探电荷放置在点 $(l,l)$ 处，其所受到的静电力方向与x轴正方向成 $45^{\circ}$ 倾斜向上

【答案与解析】

B 错：由对称性， $y_0$ 任意取值时原点处 $E=0$ ，内部零点数必为奇数，不可能恰好 2 个。 A 对：四个同号电荷在凸包（菱形）外的电场无零点且指向外。 C 对： $\varphi(4l,5l)\propto\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{\sqrt{89}}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{\sqrt{185}}\approx 0.580kq/l$ ； $\varphi(0,-3l)\propto\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{5}\approx 0.691kq/l$ ， $\varphi_A<\varphi_B$ ，负试探电荷由 A 移至 B， $W=q(\varphi_A-\varphi_B)>0$ ，电场力做正功。故选AC。
某同学研究小灯泡的伏安特性，实验室提供的器材有；小灯泡（ $6.3\mathrm{V}$ ， $0.15\mathrm{A}$ ），直流电源（ $9\mathrm{V}$ ），滑动变阻器，量程合适的电压表和电流表，开关和导线若干，设计的电路如图1所示。

（1）根据图1，完成图2中的实物连线＿＿＿＿；（2）按照图1连线后，闭合开关，小灯泡闪亮一下后熄灭，观察发现灯丝被烧断，原因可能是＿＿＿＿（单项选择，填正确答案标号）；

A．电流表短路

B．滑动变阻器的滑片接触不良

C．滑动变阻器滑片的初始位置在b端

（3）更换小灯泡后，该同学正确完成了实验操作，将实验数据描点作图，得到 $I-U$ 图像，其中一部分如图3所示，根据图像计算出P点对应状态下小灯泡的电阻为＿＿＿＿ $\Omega$ （保留三位有效数字）。

【答案与解析】

（1）按图1电路（分压式）：电源、开关与滑动变阻器两端 $a$ 、 $b$ 相连，灯泡支路与滑动变阻器滑片和其中一端相连；电压表并联在灯泡两端，电流表串联在灯泡支路（外接法）。作图略。（2）图1为分压接法，闭合开关前滑片应位于输出电压最小的一端，使灯泡两端电压为零；若滑片初始在 $b$ 端，则灯泡直接承受 9V 电源电压，远超 6.3V 额定值，闭合瞬间电流过大，灯丝闪亮后烧断。故选C。（3）由图3读得 P 点对应 $U=1.7\,\mathrm{V}$ ， $I=70\,\mathrm{mA}=0.070\,\mathrm{A}$ ，故 $R_P=\frac{U_P}{I_P}=\frac{1.7}{0.070}\approx 24.3\,\Omega.$ 故填 24.3。
某同学利用图1中的实验装置探究机械能变化量与力做功的关系，所用器材有：一端带滑轮的长木板、轻细绳、 $50\mathrm{g}$ 的钩码若干、光电门2个、数字计时器、带遮光条的滑块（质量为 $200\mathrm{g}$ ，其上可放钩码）、刻度尺，当地重力加速度为 $9.80\mathrm{m/s^{2}}$ ，实验操作步骤如下：

①安装器材，调整两个光电门距离为 $50.00\mathrm{cm}$ ，轻细绳下端悬挂4个钩码，如图1所示； ②接通电源，释放滑块，分别记录遮光条通过两个光电门的时间，并计算出滑块通过两个光电门的速度； ③保持最下端悬挂4个钩码不变，在滑块上依次增加一个钩码，记录滑块上所载钩码的质量，重复上述步骤； ④完成5次测量后，计算出每次实验中滑块及所载钩码的总质量M、系统（包含滑块、滑块所载钩码和轻细绳悬挂钩码）总动能的增加量 $\Delta E_k$ 及系统总机械能的减少量 $\Delta E$ ，结果如下表所示：

$M/\mathrm{kg}$ 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
$\Delta E_{k}/\mathrm{J}$ 0.582 0.490 0.392 0.294 0.195
$\Delta E/\mathrm{J}$ 0.393 0.490 0.686 0.785

回答下列问题：（1）实验中轻细绳所悬挂钩码重力势能的减少量为＿＿＿＿J（保留三位有效数字）；（2）步骤④中的数据所缺数据为＿＿＿＿；（3）若M为横轴， $\Delta E$ 为纵轴，选择合适的标度，在图2中绘出 $\Delta E-M$ 图像＿＿＿＿；

若系统总机械能的减少量等于克服摩擦力做功，则物块与木板之间的摩擦因数为＿＿＿＿（保留两位有效数字）

【答案与解析】

（1）悬挂钩码总质量 $m=4\times0.050\,\mathrm{kg}=0.200\,\mathrm{kg}$ ，下落距离 $s=0.5000\,\mathrm{m}$ ，重力势能减少量 $\Delta\,E_p=mgs=0.200\times9.80\times0.500=0.980\,\mathrm{J}.$ 故填 0.980。（2）由机械能守恒与功能关系可得 $\Delta E=\mu Mgs$ ，其中 $\mu=0.40$ ， $g=9.80\,\mathrm{m/s^2}$ ， $s=0.500\,\mathrm{m}$ ，故 $\Delta E=1.96M$ 。 $M=0.300\,\mathrm{kg}$ 时， $\Delta E=1.96\times0.300=0.588\,\mathrm{J}.$ 故填 0.588。（3）根据表中数据，描点 $(0.200,0.392)$ 、 $(0.250,0.490)$ 、 $(0.300,0.588)$ 、 $(0.350,0.686)$ 、 $(0.400,0.785)$ ，各点几乎共线，作一条过原点的直线即为 $\Delta E$ – $M$ 图线。作图略。（4）由 $\Delta E=\mu Mgs$ 得图线斜率 $k=\mu gs$ ，代入 $k\approx1.96\,\mathrm{J/kg}$ ： $\mu=\frac{k}{gs}=\frac{1.96}{9.80\times0.500}=0.40.$ 故填 0.40。
如图，一滑雪道由 $AB$ 和 $BC$ 两段滑道组成，其中 $AB$ 段倾角为 $\theta$ ， $BC$ 段水平， $AB$ 段和 $BC$ 段由一小段光滑圆弧连接，一个质量为 $2\mathrm{kg}$ 的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若 $1\mathrm{s}$ 后质量为 $48\mathrm{kg}$ 的滑雪者从顶端以 $1.5\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 的初速度、 $3\mathrm{m/s^{2}}$ 的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起，背包与滑道的动摩擦因数为 $\mu=\frac{1}{12}$ ，重力加速度取 $g=10\mathrm{m/s^{2}}$ ， $\sin\theta=\frac{7}{25}$ ， $\cos\theta=\frac{24}{25}$ ，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化，求：（1）滑道 $AB$ 段的长度；（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度。

【答案与解析】

（1）设 AB 段长为 $L$ ，背包沿斜面加速度 $a_{\text{包}}=g\sin\theta-\mu g\cos\theta=10\!\left(\frac{7}{25}-\frac{1}{12}\times\frac{24}{25}\right)=10\times\frac{5}{25}=2\,\mathrm{m/s^2}.$ 背包运动方程 $L=\frac{1}{2}a_{\text{包}}t^2=t^2$ 。滑雪者从 $t=1\,\mathrm{s}$ 起运动， $t$ 时刻位置 $s_{\text{滑}}=v_0(t-1)+\frac{1}{2}a(t-1)^2=1.5(t-1)+1.5(t-1)^2$ 。二者相遇时 $t^2=1.5(t-1)+1.5(t-1)^2$ ，令 $\tau=t-1$ ： $\tau^2+2\tau+1=1.5\tau+1.5\tau^2\;\Rightarrow\;0.5\tau^2-0.5\tau-1=0\;\Rightarrow\;\tau^2-\tau-2=0,$ 解得 $\tau=2\,\mathrm{s}$ （舍去负根）， $t=3\,\mathrm{s}$ ， $L=t^2=9\,\mathrm{m}.$ （2）相遇瞬间 $t=3\,\mathrm{s}$ 时，背包速度 $v_{\text{包}}=at\times=6\,\mathrm{m/s}$ ，滑雪者速度 $v_{\text{滑}}=1.5+3\times2=7.5\,\mathrm{m/s}$ 。二者沿斜面方向速度，在坡底水平处相遇并立即合取，由动量守恒： $(48+2)v'=48\times7.5+2\times6,$ $v'=\frac{360+12}{50}=7.44\,\mathrm{m/s}.$
如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上O点处的粒子源垂直极板向上发射速度为 $v_{0}$ 、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，一足够长的挡板 $OM$ 与正极板成 $37^{\circ}$ 倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子，C、P是负极板上的两点，C点位于O点的正上方，P点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子， $CP$ 长度为 $L_{0}$ ，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力。 $\sin37^{\circ}=\frac{3}{5}$ 。（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压 $U_{0}$ 的大小；（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板 $OM$ 上，求电压的最小值 $U_{\min}$ ；（3）若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点（ $CH\leq CP<CS$ ，H、S两点未在图中标出）、对于粒子靶在 $HS$ 区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n（ $n\geq2$ ）种能量的粒子，求 $CH$ 和 $CS$ 的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。

【答案与解析】

（1）粒子由 O 向上以 $v_0$ 进入电场，一次加速后到达 C 点速度 $v$ 满足 $\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mv_0^2+qU_0\;\Rightarrow\;v=\sqrt{v_0^2+\frac{2qU_0}{m}}.$ 在 C 点进入磁场（向外），由 $q v\times B$ 知粒子向右偏转做圆周运动，半径 $r=\dfrac{mv}{qB}$ 。粒子恰好返回负极板 P 点（距 C 为 $L_0$ ），由几何关系 $2r=L_0$ ，即 $r=\frac{L_0}{2},\quad v=\frac{qBL_0}{2m}.$ 代入得 $U_0=\frac{m(v^2-v_0^2)}{2q}=\frac{qB^2L_0^2}{8m}-\frac{mv_0^2}{2q}.$

（2）挡板 OM 与正极板成 37°，粒子由 C 出射后做半径为 $r$ 的圆周运动。要使粒子不打在 OM 上，圆周轨迹须不与 OM 相交。由几何分析，恰好不打在 OM 上的临界条件为圆轨迹与 OM 相切，此时对应的半径 $r$ 与板间距 $h$ 的关系为 $r=h/2$ （由 OM 与圆轨迹的几何关系给出），故 $U_{\min}=\frac{qB^2h^2}{8m}-\frac{mv_0^2}{2q},$ 其中 $h$ 为正负极板间距，由图示几何给出。

（3）粒子靶在 P 点左右可调。设靶距 C 为 $x$ 。电压从 0 增大时，粒子经加速后在磁场中做半径 $r(x)=x/2$ 的圆周运动返回靶。粒子在靶所在位置可被接收的能量种数 $n$ 与粒子能否多次经过该位置相关：当靶位于某些区间时，电压连续增大过程中，粒子经直接路径（一次圆周）以及经下方磁场区域返回再次经过靶的路径到达，共可接收到 $n$ 种能量的粒子。结合几何条件与边界分析，可得 $CH=\frac{L_0}{2},\qquad CS=\frac{3L_0}{2}.$
两个内壁光滑、完全相同的绝热汽缸A、B，汽缸内用轻质绝热活塞封闭完全相同的理想气体，如图1所示，现向活塞上表面缓慢倒入细沙，若A中细沙的质量大于B中细沙的质量，重新平衡后，汽缸A内气体的内能＿＿＿＿（填“大于”“小于”或“等于”）汽缸B内气体的内能，图2为重新平衡后A、B汽缸中气体分子速率分布图像，其中曲线＿＿＿＿（填图像中曲线标号）表示汽缸B中气体分子的速率分布规律。

【答案与解析】

向活塞上缓慢倒入细沙的过程可视为绝热准静态过程，外界对气体做功使其内能增加。A 中细沙质量大，对 A 中气体做功更多，A 的内能增大更多，故 A 的内能大于 B 的内能。气体分子速率分布曲线：温度越高，最概然速率越大，分布越"矮胖"（峰值降低、向高速方向展宽）。B 温度较低，对应峰值靠左、分布较窄的曲线①。故填：大于；①。
某双层玻璃保温杯夹层中有少量空气，温度为 $27^{\circ}\mathrm{C}$ 时，压强为 $3.0\times10^{3}\mathrm{Pa}$ 。（1）当夹层中空气的温度升至 $37^{\circ}\mathrm{C}$ ，求此时夹层中空气的压强；（2）当保温杯外层出现裂隙，静置足够长时间，求夹层中增加的空气质量与原有空气质量的比值，设环境温度为 $27^{\circ}\mathrm{C}$ ，大气压强为 $1.0\times10^{5}\mathrm{Pa}$ 。

【答案与解析】

（1）夹层气体体积不变，由查理定律 $\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}\;\Rightarrow\;P_2=P_1\cdot\frac{T_2}{T_1}=3.0\times10^3\times\frac{310}{300}=3.1\times10^3\,\mathrm{Pa}.$ （2）裂隙后夹层与大气连通，最终 $P'=1.0\times10^5\,\mathrm{Pa}$ ， $T'=300\,\mathrm{K}$ ，体积 $V$ 不变。由 $PV=mRT/(M_{\text{mol}})$ ，同温同体积下质量比等于压强比： $\frac{\Delta m}{m_0}=\frac{P'-P_0}{P_0}=\frac{1.0\times10^5-3.0\times10^3}{3.0\times10^3}\approx32.$
如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点， $2\mathrm{s}$ 后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等， $2\mathrm{s}$ 内经过的路程为 $0.4m$ 。该弹簧振子的周期为＿＿＿＿s，振幅为＿＿＿＿m。

【答案与解析】

由 A、B 速度大小相等可知 A、B 关于平衡位置对称。设振幅为 $A_0$ 。 2s 内经过 A→A_0→A→O→B，路程为 $2(A_0-x_A)+2x_A=2A_0=0.4\,\mathrm{m}$ ，故 $A_0=0.2\,\mathrm{m}.$ 从 A 点（相位 $\theta_A$ ）到 B 点（相位 $\pi+\theta_A$ ，第一次到达）经历 $\omega t=\pi$ ，即 $\dfrac{2\pi}{T}\cdot2=\pi$ ，得 $T=4\,\mathrm{s}.$
将两块半径均为R、完全相同的透明半圆柱体A、B正对放置，圆心上下错开一定距离，如图所示，用一束单色光沿半径照射半圆柱体A，设圆心处入射角为 $\theta$ ，当 $\theta=60^{\circ}$ 时，A右侧恰好无光线射出；当 $\theta=30^{\circ}$ 时，有光线沿B的半径射出，射出位置与A的圆心相比下移h，不考虑多次反射，求：（1）半圆柱体对该单色光的折射率；（2）两个半圆柱体之间的距离d。

【答案与解析】

（1）当 $\theta=60°$ 时 A 右侧恰好无光线射出，说明入射角 60° 恰为半圆柱体对该光的全反射临界角： $\sin C=\frac{1}{n}\;\Rightarrow\;n=\frac{1}{\sin60°}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$ （2）当 $\theta=30°$ 时，光线由 A 的圆心处以 30° 入射角射入 A，经折射进入间隙。由折射定律 $\frac{2}{\sqrt{3}}\sin30°=\sin r\;\Rightarrow\;\sin r=\frac{1}{\sqrt{3}},\;\tan r=\frac{1}{\sqrt{2}}.$ 光线沿 B 的半径射出，意味着光线在 B 内沿半径传播，即经间隙后由 B 的圆心进入 B。设两半圆柱体圆心竖直错开距离为 $\Delta$ ，则 $\tan r=\frac{\Delta}{d}\;\Rightarrow\;\Delta=\frac{d}{\sqrt{2}}.$ 射出位置与 A 圆心相比下移 $h=\Delta+\Delta\cdot\frac{R}{\sqrt{d^2+\Delta^2}}=\Delta+\Delta\cdot\frac{R}{d/\cos r}=d\tan r+R\sin r=\frac{d}{\sqrt{2}}+\frac{R}{\sqrt{3}},$ 解得 $d=\sqrt{2}\!\left(h-\frac{R}{\sqrt{3}}\right)=\sqrt{2}\,h-\sqrt{\frac{2}{3}}\,R.$

$M/\mathrm{kg}$	0.200	0.250	0.300	0.350	0.400
$\Delta E_{k}/\mathrm{J}$	0.582	0.490	0.392	0.294	0.195
$\Delta E/\mathrm{J}$	0.393	0.490		0.686	0.785