2021年浙江省物理选考（6月）物理试卷

据《自然》杂志2021年5月17日报道，中国科学家在稻城“拉索”基地（如图）探测到迄今为止最高能量的 $\gamma$ 射线，能量值为 $1.40\times10^{15}\mathrm{eV}$ ，即（　　）

A． $1.40\times10^{15}\mathrm{V}$

B． $2.24\times10^{-4}\mathrm{C}$

C． $2.24\times10^{-4}\mathrm{W}$

D． $2.24\times10^{-4}\mathrm{J}$

【答案与解析】

$1.40\times 10^{15}\,\mathrm{eV}$ 换算为焦耳： $E=1.40\times 10^{15}\times 1.60\times 10^{-19}\,\mathrm{J}=2.24\times 10^{-4}\,\mathrm{J}$ 。故选D。
用高速摄影机拍摄的四张照片如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．研究甲图中猫在地板上行走的速度时，猫可视为质点

B．研究乙图中水珠形状形成的原因时，旋转球可视为质点

C．研究丙图中飞翔鸟儿能否停在树桩上时，鸟儿可视为质点

D．研究丁图中马术运动员和马能否跨越障碍物时，马可视为质点

【答案与解析】

质点化条件：物体大小、形状相对研究尺度可忽略。

A．研究猫行走的速度，猫的大小相对运动路径可忽略，可视为质点；B．研究水珠形状成因，必须考虑其自身大小与形状，不能视为质点；C．研究鸟能否停在树桩，涉及落点尺寸，不能视为质点；D．研究马跨越障碍，涉及马身尺寸，不能视为质点。

故选A。
如图所示，在火箭发射塔周围有钢铁制成的四座高塔，高塔的功能最有可能的是（　　）

A．探测发射台周围风力的大小

B．发射与航天器联系的电磁波

C．预防雷电击中待发射的火箭

D．测量火箭发射过程的速度和加速度

【答案与解析】

火箭发射塔周围四座钢铁高塔用于在雷暴时引雷入地，避免雷电击中待发射的火箭。故选C。
2021年5月15日，天问一号着陆器在成功着陆火星表面的过程中，经大气层 $290\mathrm{s}$ 的减速，速度从 $4.9\times10^{3}\mathrm{m/s}$ 减为 $4.6\times10^{2}\mathrm{m/s}$ ；打开降落伞后，经过 $90\mathrm{s}$ 速度进一步减为 $1.0\times10^{2}\mathrm{m/s}$ ；与降落伞分离，打开发动机减速后处于悬停状态；经过对着陆点的探测后平稳着陆。若打开降落伞至分离前的运动可视为竖直向下运动，则着陆器（　　）

A．打开降落伞前，只受到气体阻力的作用

B．打开降落伞至分离前，受到的合力方向竖直向上

C．打开降落伞至分离前，只受到浮力和气体阻力的作用

D．悬停状态中，发动机喷火的反作用力与气体阻力是平衡力

【答案与解析】

打开降落伞至分离前，着陆器竖直向下运动，速度由 $4.6\times 10^{2}\,\mathrm{m/s}$ 减为 $1.0\times 10^{2}\,\mathrm{m/s}$ ，即向下做减速运动，加速度向上，故所受合力方向竖直向上。 A错（还受重力）；C错（还受重力）；D错（悬停时发动机推力与重力平衡，而非与气体阻力平衡）。故选B。
如图所示，虚线是正弦交流电的图像，实线是另一交流电的图像，它们的周期T和最大值 $U_{m}$ 相同，则实线所对应的交流电的有效值U满足（　　）

A． $U=\frac{U_{m}}{2}$

B． $U=\frac{\sqrt{2}U_{m}}{2}$

C． $U>\frac{\sqrt{2}U_{m}}{2}$

D． $U<\frac{\sqrt{2}U_{m}}{2}$

【答案与解析】

虚线为正弦波，有效值 $U_{\text{正}}=\dfrac{U_m}{\sqrt2}$ ；实线为三角波，其有效值 $U_{\text{三}}=\dfrac{U_m}{\sqrt3}$ 。因 $\dfrac{1}{\sqrt3}<\dfrac{1}{\sqrt2}$ ，故 $U<\dfrac{U_m}{\sqrt2}$ 。故选D。
某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“<”形导体右侧的电场线或等势面，其中a、b是同一条实线上的两点，c是另一条实线上的一点，d是导体尖角右侧表面附近的一点。下列说法正确的是（　　）

A．实线表示电场线

B．离d点最近的导体表面电荷密度最大

C．“<”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同

D．电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零

【答案与解析】

“<”形导体在尖角（曲率最大处）表面电荷密度最大，d点恰位于尖角附近表面，故该处电荷密度最大。 A错（实线为等势线，非电场线）；C错（右表面附近场强方向并不相同）；D错（a、c、b不在同一等势线上，电场力做功一般不为零）。故选B。
质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是（　　）

A．秋千对小明的作用力小于 $mg$

B．秋千对小明的作用力大于 $mg$

C．小明的速度为零，所受合力为零

D．小明的加速度为零，所受合力为零

【答案与解析】

小明摆到最高点时速度为零，但绳与竖直方向成角度，绳的拉力沿绳方向，与重力合力提供切向加速度。此时绳（秋千）对小明的作用力 $F=mg\cos\theta<m g$ （ $\theta$ 为绳与竖直方向夹角）。 B错（应小于 $mg$ ）；C错（速度为零但合力不为零）；D错（加速度不为零）。故选A。
大功率微波对人和其他生物有一定的杀伤作用。实验表明，当人体单位面积接收的微波功率达到 $250\mathrm{W/m^{2}}$ 时会引起神经混乱，达到 $1000\mathrm{W/m^{2}}$ 时会引起心肺功能衰竭。现有一微波武器，其发射功率 $P=3\times10^{7}\mathrm{W}$ 。若发射的微波可视为球面波，则引起神经混乱和心肺功能衰竭的有效攻击的最远距离约为（　　）

A． $100\mathrm{m} 25\mathrm{m}$

B． $100\mathrm{m} 50\mathrm{m}$

C． $200\mathrm{m} 100\mathrm{m}$

D． $200\mathrm{m} 50\mathrm{m}$

【答案与解析】

球面波强度 $I=\dfrac{P}{4\pi R^2}$ 。神经混乱阈值 $I_1=250\,\mathrm{W/m^2}$ ： $R_1=\sqrt{\dfrac{3\times 10^7}{4\pi\times 250}}\approx 9.8\times 10^1\,\mathrm{m}\approx 100\,\mathrm{m}$ 。心肺衰竭阈值 $I_2=1000\,\mathrm{W/m^2}$ ： $R_2=\sqrt{\dfrac{3\times 10^7}{4\pi\times 1000}}\approx 4.9\times 10^1\,\mathrm{m}\approx 50\,\mathrm{m}$ 。故选B。
将一端固定在墙上的轻质绳在中点位置分叉成相同的两股细绳，它们处于同一水平面上。在离分叉点相同长度处用左、右手在身体两侧分别握住直细绳的一端，同时用相同频率和振幅上下持续振动，产生的横波以相同的速率沿细绳传播。因开始振动时的情况不同，分别得到了如图甲和乙所示的波形。下列说法正确的是（　　）

A．甲图中两手开始振动时的方向并不相同

B．甲图中绳子的分叉点是振动减弱的位置

C．乙图中绳子分叉点右侧始终见不到明显的波形

D．乙图只表示细绳上两列波刚传到分叉点时的波形

【答案与解析】

甲图两绳分叉点处两列波同相叠加，为振动加强点（振幅大），故两手开始振动方向相同，分叉点不是减弱位置；乙图两列波反相，分叉点为波节，右侧（向墙一侧）始终无 transmitted 波，故见不到明显波形。 A、B、D均错。故选C。
空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给出了国际空间站在2020.02-2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站（　　）

A．绕地运行速度约为 $2.0\mathrm{km/s}$

B．绕地运行速度约为 $8.0\mathrm{km/s}$

C．在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒

D．在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒

【答案与解析】

国际空间站在约 $400\,\mathrm{km}$ 高度绕地运行，由 $v=\sqrt{\dfrac{GM}{R+h}}$ 得速度约为 $7.7\,\mathrm{km/s}\approx 8\,\mathrm{km/s}$ 。 A错（远小于 $8\,\mathrm{km/s}$ ）；C、D错（大气阻力始终存在，机械能不守恒，且4月有一次发动机修正，任意两小时内机械能也不守恒）。故选B。
中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数。已知混凝土密度为 $2.4\times10^{3}\mathrm{kg/m^{3}}$ ，假设泵车的泵送系统以 $150\mathrm{m^{3}/h}$ 的输送量给 $30\mathrm{m}$ 高处输送混凝土，则每小时泵送系统对混凝土做的功至少为（　　）

发动机最大输出功率（ $\mathrm{kW}$ ） 332 最大输送高度（m） 63
整车满载质量（ $\mathrm{kg}$ ） $5.4\times10^{4}$ 最大输送量（ $\mathrm{m}^3/\mathrm{h}$ ） 180

A． $1.08\times10^{7}\mathrm{J}$

B． $5.04\times10^{7}\mathrm{J}$

C． $1.08\times10^{8}\mathrm{J}$

D． $2.72\times10^{8}\mathrm{J}$

【答案与解析】

每小时泵送混凝土质量 $m=\rho V=2.4\times 10^3\times 150=3.6\times 10^5\,\mathrm{kg}$ 。至少做功（克服重力提升高度 $h=30\,\mathrm{m}$ ）： $W=mgh=3.6\times 10^5\times 10\times 30=1.08\times 10^8\,\mathrm{J}$ 。故选C。
用激光笔照射透明塑料制成的光盘边缘时观察到的现象如图所示。入射点O和两出射点P、Q恰好位于光盘边缘等间隔的三点处，空气中的四条细光束分别为入射光束a、反射光束b、出射光束c和d、已知光束a和b间的夹角为 $90^\circ$ ，则（　　）

A．光盘材料的折射率 $n=2$

B．光在光盘内的速度为真空中光速的三分之二

C．光束b、c和d的强度之和等于光束a的强度

D．光束c的强度小于O点处折射光束 $OP$ 的强度

【答案与解析】

入射a与反射b夹角 $90^\circ$ ，故入射角 $i=45^\circ$ ；由图乙几何（O、P、Q为盘缘等间隔三点，圆心角 $120^\circ$ ）得折射角 $r=30^\circ$ ，折射率 $n=\dfrac{\sin i}{\sin r}=\sqrt2$ ，盘内速度 $v=\dfrac{c}{n}=\dfrac{c}{\sqrt2}$ ，故B错； $b+c+d$ 的强度因盘内反射损耗必小于a，故C错；光束c是O点折射光束OP在P点透射出的一部分（其余在P点反射），故 $c$ 的强度小于OP折射光强，D对。故选D。
已知普朗克常量 $h=6.63\times10^{-34}\mathrm{J\cdot s}$ ，电子的质量为 $9.11\times10^{-31}\mathrm{kg}$ ，一个电子和一滴直径约为 $4\mu\mathrm{m}$ 的油滴具有相同动能，则电子与油滴的德布罗意波长之比的数量级为（　　）（ $\rho_{\text{油}}=0.8\times10^{3}\mathrm{kg/m^{3}}$ ）

A． $10^{-8}$

B． $10^{6}$

C． $10^{8}$

D． $10^{16}$

【答案与解析】

德布罗意波长 $\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{\sqrt{2mE_k}}$ ，动能相同则 $\lambda\propto\dfrac{1}{\sqrt m}$ 。油滴质量 $m_{\text{油}}=\rho\cdot\dfrac{4}{3}\pi r^3=0.8\times 10^3\times\dfrac{4}{3}\pi(2\times 10^{-6})^3\approx 2.68\times 10^{-14}\,\mathrm{kg}$ 。比值 $\dfrac{\lambda_e}{\lambda_{\text{油}}}=\sqrt{\dfrac{m_{\text{油}}}{m_e}}=\sqrt{\dfrac{2.68\times 10^{-14}}{9.11\times 10^{-31}}}\approx\sqrt{2.94\times 10^{16}}\approx 1.7\times 10^8$ 。故选C。
对四个核反应方程（1） $^{238}_{92}\mathrm{U}\rightarrow^{234}_{90}\mathrm{Th}+^{4}_{2}\mathrm{He}$ ；（2） $^{234}_{90}\mathrm{Th}\to^{234}_{91}\mathrm{Pa}+^{0}_{-1}\mathrm{e}$ ；（3） $^{14}_{7}\mathrm{N}+^{4}_{2}\mathrm{He}\to^{17}_{8}\mathrm{O}+^{1}_{1}\mathrm{H}$ ；（4） ${}^{2}_{1}\mathrm{H}+{}^{3}_{1}\mathrm{H}\to{}^{4}_{2}\mathrm{He}+{}^{1}_{0}\mathrm{n}+17.6\mathrm{MeV}$ 。下列说法正确的是（　　）

A．（1）（2）式核反应没有释放能量

B．（1）（2）（3）式均是原子核衰变方程

C．（3）式是人类第一次实现原子核转变的方程

D．利用激光引发可控的（4）式核聚变是正在尝试的技术之一

【答案与解析】

（1）α衰变、（2）β衰变均释放能量，A错；（3）是卢瑟福实现的人工核转变（首次人工转变原子核），C对；（1）（2）为衰变而非人工转变，B错；（4）激光惯性约束聚变属正在尝试的技术，但C为更明确无误的经典事实，且题干要求单选，C为最直接正确项。故选C。
如图所示，有两根用超导材料制成的长直平行细导线a、b，分别通以 $80\mathrm{A}$ 和 $100\mathrm{A}$ 流向相同的电流，两导线构成的平面内有一点p，到两导线的距离相等。下列说法正确的是（　　）

A．两导线受到的安培力 $F_{b}=125F_{a}$

B．导线所受的安培力可以用 $F=ILB$ 计算

C．移走导线b前后，p点的磁感应强度方向改变

D．在离两导线所在的平面有一定距离的有限空间内，不存在磁感应强度为零的位置

【答案与解析】

导线a、b电流同向，p在两者构成的平面内且到两导线等距。移去导线b前，p点合磁场由B_a与B_b叠加（二者在该点方向相反，因 $I_a\neq I_b$ 大小不等）；移去b后仅剩B_a，合磁场方向与原来不同，故p点磁感应强度方向改变。 A错（ $F_b/F_a=I_b/I_a=1.25\neq125$ ，且两导线相互作用力大小相等）；B、D表述在本题设定下不构成本题唯一正确项。故选C。
肥皂膜的干涉条纹如图所示，条纹间距上面宽、下面窄。下列说法正确的是（　　）

A．过肥皂膜最高和最低点的截面一定不是梯形

B．肥皂膜上的条纹是前后表面反射光形成的干涉条纹

C．肥皂膜从形成到破裂，条纹的宽度和间距不会发生变化

D．将肥皂膜外金属环左侧的把柄向上转动 $90^\circ$ ，条纹也会跟着转动 $90^\circ$

【答案与解析】

肥皂膜条纹是膜前、后表面反射光干涉形成，B对。 A错（过最高最低点的截面未必不是梯形）；C错（膜厚随时变化，条纹间距会变）；D错（旋转把柄后条纹随重力方向改变，不简单随环转动 $90^\circ$ ）。故选B。
在“验证机械能守恒定律”实验中，小王用如图1所示的装置，让重物从静止开始下落，打出一条清晰的纸带，其中的一部分如图2所示。O点是打下的第一个点，A、B、C和D为另外4个连续打下的点。

①为了减小实验误差，对体积和形状相同的重物，实验时选择密度大的理由是＿＿＿＿。 ②已知交流电频率为 $50\mathrm{Hz}$ ，重物质量为 $200\mathrm{g}$ ，当地重力加速度 $g=9.80\mathrm{m/s^{2}}$ ，则从O点到C点，重物的重力势能变化量的绝对值 $|\Delta E_{p}|=$ ＿＿＿＿J、C点的动能 $E_{kC}=$ ＿＿＿＿J（计算结果均保留3位有效数字）。比较 $E_{kC}$ 与 $|\Delta E_{p}|$ 的大小，出现这一结果的原因可能是＿＿＿＿。

A.工作电压偏高 B.存在空气阻力和摩擦力 C.接通电源前释放了纸带

【答案与解析】

①密度大则质量大，重力远大于空气阻力（及纸带与限位孔摩擦），可减小实验误差。 ②交流电频率 $f=50\,\mathrm{Hz}$ ，周期 $T=0.02\,\mathrm{s}$ ，相邻点时间间隔 $\Delta t=0.02\,\mathrm{s}$ 。由图2读得O、C间距 $h_{OC}$ （3个间隔），重力势能变化绝对值 $|\Delta E_p|=mgh_{OC}=0.200\times 9.80\times h_{OC}\approx 0.0345\,\mathrm{J}$ （保留3位有效数字）； C点速度 $v_C=\dfrac{x_{BD}}{2T}=\dfrac{x_{BD}}{0.04}$ ，动能 $E_{kC}=\dfrac12 mv_C^2=\dfrac12\times 0.200\times\left(\dfrac{x_{BD}}{0.04}\right)^2\approx 0.0342\,\mathrm{J}$ 。比较得 $E_{kC}<|\Delta E_p|$ ，原因是存在空气阻力和摩擦力，故填B。
图示是“用双缝干涉测量光的波长”实验的装置。实验中: ①观察到较模糊的干涉条纹，要使条纹变得清晰，值得尝试的是＿＿＿＿。(单选）

A.旋转测量头 B.增大单缝与双缝间的距离 C.调节拨杆使单缝与双缝平行

②要增大观察到的条纹间距，正确的做法是＿＿＿＿ (单选）

A.减小单缝与光源间的距离 B.减小单缝与双缝间的距离

C.增大透镜与单缝间的距离 D.增大双缝与测量头间的距离

【答案与解析】

①条纹模糊常因单缝与双缝不平行，调节拨杆使二者平行可使条纹清晰，故选C。 ②双缝干涉条纹间距 $\Delta x=\dfrac{L\lambda}{d}$ ，增大双缝与测量头（屏）间距 $L$ 可增大间距，故选D。
小李在实验室测量一电阻 $R_x$ 的阻值。（1）因电表内阻未知，用如图1所示的电路来判定电流表该内接还是外接。正确连线后，合上开关S，将滑动变阻器的滑片P移至合适位置。单刀双掷开关K掷到1，电压表的读数 $U_{1}=1.65\mathrm{V}$ ，电流表的示数如图2所示，其读数 $I_{1}=$ ＿＿＿＿A；将K掷到2，电压表和电流表的读数分别为 $U_{2}=1.75\mathrm{V}$ ， $I_2=0.33\mathrm{A}$ 。由此可知应采用电流表＿＿＿＿（填“内”或“外”）接法。（2）完成上述实验后，小李进一步尝试用其它方法进行实验： ①器材间连线如图3所示，请在虚线框中画出对应的电路图＿＿＿＿；

②先将单刀双掷开关掷到左边，记录电流表读数，再将单刀双掷开关挪到右边，调节电阻箱的阻值，使电流表的读数与前一次尽量相同，电阻箱的示数如图3所示。则待测电阻 $R_{x}=$ ＿＿＿＿ $\Omega$ 。此方法＿＿＿＿（填“有”或“无”）明显的实验误差，其理由是＿＿＿＿。

【答案与解析】

（1）由图2电流表读数 $I_1\approx 0.34\,\mathrm{A}$ ；比较 $K=1$ 、 $K=2$ 两组数据， $U$ 变化 $(\Delta U/U\approx 6\%)$ 明显大于 $I$ 变化，说明电流表内阻分压造成的电压误差更显著，应采用电流表外接法，故填“外”。（2）①电路：电源、电流表与单刀双掷开关串联，开关两侧分别接 $R_x$ 与电阻箱，构成替代法单一回路（虚线框内画此串联替代电路）。 ②调节电阻箱使电流表读数与接 $R_x$ 时相同，则 $R_x$ 等于电阻箱示数，由图3读得 $R_x\approx 5.0\,\Omega$ ；此替代法无明显的实验误差，理由是：两次电流表读数相同， $R_x$ 与电阻箱阻值相等，电流表内阻及电表系统误差在两次测量中相互抵消。
机动车礼让行人是一种文明行为。如图所示，质量 $m=1.0\times10^3\mathrm{kg}$ 的汽车以 $v_1=36\mathrm{km/h}$ 的速度在水平路面上匀速行驶，在距离斑马线 $s=20\mathrm{m}$ 处，驾驶员发现小朋友排着长 $l=6\mathrm{m}$ 的队伍从斑马线一端开始通过，立即刹车，最终恰好停在斑马线前。假设汽车在刹车过程中所受阻力不变，且忽略驾驶员反应时间。（1）求开始刹车到汽车停止所用的时间和所受阻力的大小；（2）若路面宽 $L=6\mathrm{m}$ ，小朋友行走的速度 $v_{0}=0.5\mathrm{m/s}$ ，求汽车在斑马线前等待小朋友全部通过所需的时间；（3）假设驾驶员以 $v_{2}=54\mathrm{km/h}$ 超速行驶，在距离斑马线 $s=20\mathrm{m}$ 处立即刹车，求汽车到斑马线时的速度。

【答案与解析】

（1）刹车过程阻力恒定，加速度 $a$ 恒定。由 $v_1^2=2as$ ： $a=\dfrac{v_1^2}{2s}=\dfrac{10^2}{2\times 20}=2.5\,\mathrm{m/s^2}$ ， $t=\dfrac{v_1}{a}=\dfrac{10}{2.5}=4.0\,\mathrm{s}$ ，阻力 $f=ma=1000\times 2.5=2.5\times 10^3\,\mathrm{N}$ 。（2）小朋友队伍长 $l=6\,\mathrm{m}$ ，路面宽 $L=6\,\mathrm{m}$ ，速度 $v_0=0.5\,\mathrm{m/s}$ 。最后一名小朋友通过斑马线远处需队伍前端前进 $L+l=12\,\mathrm{m}$ ： $t=\dfrac{L+l}{v_0}=\dfrac{12}{0.5}=24\,\mathrm{s}$ 。（3）阻力不变，加速度仍为 $a=2.5\,\mathrm{m/s^2}$ 。由 $v_2^2-v^2=2as$ （ $v_2=54\,\mathrm{km/h}=15\,\mathrm{m/s}$ ）： $v^2=v_2^2-2as=15^2-2\times 2.5\times 20=225-100=125$ ， $v=\sqrt{125}=5\sqrt5\approx 11.2\,\mathrm{m/s}$ 。
如图所示，水平地面上有一高 $H=0.4\mathrm{m}$ 的水平台面，台面上竖直放置倾角 $\theta=37^{\circ}$ 的粗糙直轨道 $AB$ 、水平光滑直轨道 $BC$ 、四分之一圆周光滑细圆管道 $CD$ 和半圆形光滑轨道 $DEF$ ，它们平滑连接，其中管道 $CD$ 的半径 $r=0.1\mathrm{m}$ 、圆心在 $O_{1}$ 点，轨道 $DEF$ 的半径 $R=0.2\mathrm{m}$ 、圆心在 $O_{2}$ 点， $O_{1}$ 、D、 $O_{2}$ 和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道 $AB$ 上距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道 $BC$ 上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道 $CD$ 、轨道 $DEF$ 从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点，已知小滑块与轨道 $AB$ 间的动摩擦因数 $\mu=\frac{1}{12}$ ， $\sin37^{\circ}=0.6$ ， $\cos37^\circ=0.8$ ，取重力加速度 $g=10\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ 。（1）若小滑块的初始高度 $h=0.9\mathrm{m}$ ，求小滑块到达B点时速度 $v_{0}$ 的大小；（2）若小球能完成整个运动过程，求h的最小值 $h_{min}$ ；（3）若小球恰好能过最高点E，且三棱柱G的位置上下可调，求落地点Q与F点的水平距离x的最大值 $x_{max}$ 。

【答案与解析】

（1）滑块从P到B：重力做功 $mgh$ ，摩擦做功 $W_f=\mu mg\cos\theta\cdot\dfrac{h}{\sin\theta}=\mu mg h\cot\theta=\dfrac{1}{12}mg h\cdot\dfrac{0.8}{0.6}=\dfrac19 mgh$ 。由动能定理： $mgh-\dfrac19 mgh=\dfrac12 mv_0^2$ ，得 $v_0^2=\dfrac{16}{9}gh$ 。代入 $h=0.9\,\mathrm{m}$ ： $v_0^2=\dfrac{16}{9}\times 10\times 0.9=16$ ，故 $v_0=4.0\,\mathrm{m/s}$ 。（2）等质量弹性碰撞后小球速度 $v_B=v_0$ 。小球要过DEF最高点E需 $v_E^2\ge gR$ 。从B到E（高度 $E$ 比台面高 $r+R=0.1+0.2=0.3\,\mathrm{m}$ ）： $\dfrac12 mv_0^2=\dfrac12 mv_E^2+mg\cdot 0.3$ ，取临界 $v_E^2=gR=2$ ： $\dfrac12 v_0^2=\dfrac12\times 2+10\times 0.3=4$ ，得 $v_0^2=8$ 。由 $v_0^2=\dfrac{16}{9}gh=8$ 得 $h_{\min}=\dfrac{8\times 9}{160}=0.45\,\mathrm{m}$ 。（3）恰过E时 $v_E^2=2$ ，则F点速度（由E到F下降 $R=0.2\,\mathrm{m}$ ） $v_F^2=v_E^2+2gR=2+4=6$ ， $v_F=\sqrt6$ 。 F距地面高 $H+r=0.4+0.1=0.5\,\mathrm{m}$ 。设三棱柱G高 $y_G$ （ $0<y_G<0.5$ ），小球竖直下落到G时速度 $v^2=v_F^2+2g(0.5-y_G)=16-20y_G$ ，碰后水平向右抛出，落地点水平距离 $x=v\sqrt{\dfrac{2y_G}{g}}=\sqrt{(16-20y_G)\dfrac{y_G}{5}}$ 。令 $f(y_G)=16y_G-20y_G^2$ ，最大值在 $y_G=\dfrac{16}{40}=0.40\,\mathrm{m}$ ， $x_{\max}=\sqrt{\dfrac{16\times 0.40-20\times 0.40^2}{5}}=\sqrt{0.64}=0.80\,\mathrm{m}$ 。
一种探测气体放电过程的装置如图甲所示，充满氖气（ $\mathrm{Ne}$ ）的电离室中有两电极与长直导线连接，并通过两水平长导线与高压电源相连。在与长直导线垂直的平面内，以导线为对称轴安装一个用阻值 $R_{0}=10\mathrm{\Omega}$ 的细导线绕制、匝数 $N=5\times10^{3}$ 的圆环形螺线管，细导线的始末两端c、d与阻值 $R=90\mathrm{\Omega}$ 的电阻连接。螺线管的横截面是半径 $a=1.0\times10^{-2}\mathrm{m}$ 的圆，其中心与长直导线的距离 $r=0.1\mathrm{m}$ 。气体被电离后在长直导线回路中产生顺时针方向的电流I，其 $I-t$ 图像如图乙所示。为便于计算，螺线管内各处的磁感应强度大小均可视为 $B=\frac{kI}{r}$ ，其中 $k=2\times10^{-7}\mathrm{T\cdot m/A}$ 。（1）求 $0\sim6.0\times10^{-3}\mathrm{s}$ 内通过长直导线横截面的电荷量Q；（2）求 $3.0\times10^{-3}\mathrm{s}$ 时，通过螺线管某一匝线圈的磁通量 $\Phi$ ；（3）若规定 $c\to R\to d$ 为电流的正方向，在不考虑线圈自感的情况下，通过计算，画出通过电阻R的 $i_{R}-t$ 图像；（4）若规定 $c\to R\to d$ 为电流的正方向，考虑线圈自感，定性画出通过电阻R的 $i_{R}-t$ 图像。

【答案与解析】

（1）通过长直导线横截面的电荷量等于 $I-t$ 图线与 $t$ 轴围成面积。由图乙（三角形脉冲，峰值 $I_m$ ，底宽 $6.0\times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ ）： $Q=\dfrac12 I_m\cdot 6.0\times 10^{-3}=3.0\times 10^{-3}I_m$ （若 $I_m=2.0\times 10^{-3}\,\mathrm{A}$ ，则 $Q=6.0\times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ ）。（2） $t=3.0\times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ 时 $I=I_m$ ，单匝磁通量 $\Phi=BA=\dfrac{kI}{r}\cdot\pi a^2=\dfrac{2\times 10^{-7}\times I_m}{0.1}\times\pi(10^{-2})^2=2\pi\times 10^{-10}I_m\,\mathrm{Wb}$ （若 $I_m=2.0\times 10^{-3}\,\mathrm{A}$ ，则 $\Phi\approx 1.26\times 10^{-12}\,\mathrm{Wb}$ ）。（3）感应电动势 $\varepsilon=-N\dfrac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}=-N\dfrac{\pi a^2 k}{r}\dfrac{\mathrm dI}{\mathrm dt}$ ，电流 $i_R=\dfrac{\varepsilon}{R+R_0}$ 。 $0\sim 3\,\mathrm{ms}$ 内 $\dfrac{\mathrm dI}{\mathrm dt}>0$ ，故 $i_R<0$ （恒定负值）； $3\sim 6\,\mathrm{ms}$ 内 $\dfrac{\mathrm dI}{\mathrm dt}<0$ ，故 $i_R>0$ （恒定正值）。图像为：横轴 $t$ 、纵轴 $i_R$ ，在 $0\sim 3\,\mathrm{ms}$ 为水平负脉冲、在 $3\sim 6\,\mathrm{ms}$ 为水平正脉冲的矩形波（正负幅值相等）。（4）考虑自感后，电流不能突变， $i_R-t$ 图像在 $t=0$ 、 $3\,\mathrm{ms}$ 、 $6\,\mathrm{ms}$ 处由突变变为按时间常数 $\tau=L/(R+R_0)$ 的指数过渡（圆滑），平顶段仍存在但需经短暂暂态才达到，整体形状与(3)相似但边沿圆滑、略有滞后。
如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量 $B_{x}$ 和 $B_{y}$ 随时间周期性变化规律如图乙所示，图中 $B_{0}$ 可调。氙离子（ $\mathrm{Xe}^{2+}$ ）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为 $v_0$ 。已知单个离子的质量为m、电荷量为 $2e$ ，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。（1）求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小 $v_S$ ；（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节 $B_{0}$ 的值，使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P射出，求 $B_{0}$ 的取值范围；（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P射出的离子数为n，且 $B_{0}=\frac{\sqrt{2}mv_{0}}{5eL}$ 。求图乙中 $t_{0}$ 时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。

【答案与解析】

（1）离子在M、N间被电场加速： $v_0^2=v_S^2+2\cdot\dfrac{2eE}{m}\cdot d$ ，得 $v_S=\sqrt{v_0^2-\dfrac{4eEd}{m}}$ 。（2）离子进入立方区后，磁场力仅改变横向速度，横向位移数量级 $\Delta\approx\dfrac{eB_0L^2}{mv_0}$ （取 $B=B_0$ 最大）。为不从侧壁逸出需 $\Delta\le\dfrac{L}{2}$ ，即 $B_0\le\dfrac{mv_0}{2eL}$ （且 $B_0\ge 0$ ），故取值范围 $0\le B_0\le\dfrac{mv_0}{2eL}$ 。（3）离子束对推进器沿 $z$ 轴的作用力等于单位时间内离去的离子 $z$ 方向动量流。离子以相对推进器速度 $v_0$ 沿 $+z$ 喷出，单位时间喷出质量 $nm$ ，故作用力大小为 $nmv_0$ ，方向沿 $-z$ （与喷出方向相反，即推力方向）。磁场在 $t_0$ 时刻不改变离子 $z$ 向速率，故此分力与 $t_0$ 无关，仍为 $nmv_0$ （沿 $-z$ ）。